Teste de Dirichlet

Em matemática, o teste de Dirichlet (Veja Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) demonstra a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

onde as duas propriedades são verificadas:

• $\left|\sum _{n=1}^{N}a_{n}\right|<M$ para todo $N>0$
• $b_{1}\geq b_{2}\geq b_{2}\geq \ldots \geq b_{n}\to 0$

O teste de Dirichlet é uma generalização do teste de Abel, que exige que a série $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ seja convergente.

Exemplo

Sendo θ a medida em radianos de um ângulo tal que $cos(\theta )\neq 1\,$, considere a série:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n\theta )}{n}}$

Defina $a_{n}=\sin(n\theta )\,$ e $b_{n}={\frac {1}{n}}$ É claro que $b_{n}$ é decrescente e converge para zero. E como pode-se mostrar que:

$\sum _{n=1}^{N}\sin(n\theta )=\sin(N\theta )+{\dfrac {\sin((N-1)\theta )-\sin(N\theta )+\sin \theta }{2-2\cos \theta }}\,$

a segunda hipótese é satisfeita e a série converge.

Note-se que nem a série $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$ nem a série $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\,$ convergem; esta série não passa no Teste de Abel.

Versão para convergência de integrais

Sejam f e g funções satisfazendo:

• $f(x)\in C[a,+\infty ]$ é tal que a sua antiderivada F no intervalo $[a,+\infty ]$ é limitada, ou seja, $\exists M>0:\quad |F(x)|\leq M\quad \forall x>a$.
• $g(x)\in C^{1}[a,+\infty ],\quad g(x)>0,\quad g'(x)\leq 0\quad \forall x>a$.
• $\lim _{x\to +\infty }g(x)=0$.

Nestas condições:

• $\int _{a}^{+\infty }f(x)g(x)dx$ converge.

Observe que este resultado mostra apenas a convergência no sentido de integral imprópria:

$\int _{a}^{+\infty }f(x)g(x)dx=\lim _{y\to \infty }\int _{a}^{+y}f(x)g(x)dx$

Não há qualquer garatia que a integral convirja absolutamente, como é o caso de:

$\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}dx={\frac {\pi }{2}}$

mas

$\int _{0}^{+\infty }{\frac {|\sin(x)|}{x}}dx=\infty$

Demonstração

Defina:

• $R_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n},~N>0$
• $S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}b_{n},~N>0$
• $R_{0}=S_{0}=0\,$

Escreva para $k>0$:

$S_{N+k}-S_{N}=\sum _{n=N+1}^{N+k}a_{n}b_{n}=\sum _{n=N+1}^{N+k}\left(R_{n}-R_{n-1}\right)b_{n}=\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n}b_{n}-\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n-1}b_{n}\,$

Trocando índices temos:

$S_{N+k}-S_{N}=\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n}b_{n}-\sum _{n=N}^{N+k-1}R_{n}b_{n+1}=\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n}\left(b_{n}-b_{n+1}\right)-R_{N}b_{N+1}+R_{N+k}b_{N+k+1}\,$

Tomamos módulo e aplicamos a desigualdade triangular, observando que $|b_{n}-b_{n+1}|=b_{n}-b_{n+1}$ pela monotocidade.

$\left|S_{N+k}-S_{N}\right|\leq \sum _{n=N+1}^{N+k}|R_{n}|\left(b_{n}-b_{n+1}\right)+|R_{N}|b_{N+1}+|R_{N+k}|b_{N+k+1}\,$

Da primeira hipótese, $|R_{n}|\leq M$, e assim:

$\left|S_{N+k}-S_{N}\right|\leq M\sum _{n=N+1}^{N+k}\left(b_{n}-b_{n+1}\right)+M\left(b_{N+1}+b_{N+k+1}\right)\,$

A soma telescópica pode ser simplificada:

$\left|S_{N+k}-S_{N}\right|\leq M\left(b_{N+1}-b_{N+k+1}\right)+M\left(b_{N+1}+b_{N+k+1}\right)\leq 3Mb_{N+1}\,$

Como $b_{n}\to 0$, escolha $N>0$ tal que:

$0\leq b_{n}\leq {\frac {\varepsilon }{3M}},\forall n>N$

Conclui-se que:

$\left|S_{N+k}-S_{N}\right|\leq \varepsilon \,$

E portanto $S_{n}$ é uma sucessão de Cauchy e portanto convergente, o que completa a demonstração.

Demonstração da versão para integrais

Integração por partes, obtemos a seguinte identidade para $a<y_{0}<y_{1}\,$:

${\begin{array}{rcl}\int _{y_{0}}^{y_{1}}f(x)g(x)dx&=&\int _{y_{0}}^{y_{1}}F'(x)g(x)dx\\&=&\left.\left(F(x)g(x)\right)\right|_{y_{0}}^{y_{1}}-\int _{y_{0}}^{y_{1}}F(x)g'(x)dx\end{array}}$

Agora estimamos cada um dos termos à direita:

${\begin{array}{rcl}\left|\int _{y_{0}}^{y_{1}}F(x)g'(x)dx\right|&\leq &\int _{y_{0}}^{y_{1}}|F(x)|\cdot |g'(x)|dx\leq M\int _{y_{0}}^{y_{1}}|g'(x)|dx\\&=&-M\int _{y_{0}}^{y_{1}}g'(x)dx=M\left(g(y_{0})-g(y_{1})\right)\end{array}}$

e

${\begin{array}{rcl}\left|\left.\left(F(x)g(x)\right)\right|_{y_{0}}^{y_{1}}\right|&=&\left|F(y_{1})g(y_{1})-F(y_{0})g(y_{0})\right|\leq M\left(g(y_{1})+g(y_{0})\right)\end{array}}$

Somando essas estimativas, podemos construir a seguinte desigualdade:

$a<y_{0}<y_{1}\,$:

${\begin{array}{rcl}\left|\int _{y_{0}}^{y_{1}}f(x)g(x)dx\right|&\leq &M\left(g(y_{0})-g(y_{1})\right)+M\left(g(y_{1})+g(y_{0})\right)\\&=&2Mg(y_{0})\to 0,{\hbox{ quando }}y_{0}\to \infty \end{array}}$

e o resultado segue.