Fenómeno de Runge

O fenómeno de Runge.

Em matemática, em particular no campo específico da análise numérica, o fenómeno de Runge é um problema que ocorre quando se usa interpolação polinomial com polinómios de ordem elevada. Foi descoberto por Carl Runge quando investigava erros na interpolação polinomial.

Problema

Considere a função:

$f(x) = \frac{1}{1+25x^2}$

Runge descobriu que se fizermos a interpolação desta função em pontos equidistantes entre -1 e 1 tais que:

$x_i = -1 + (i-1)\frac{2}{n}, i \in \left\{ 1, 2, \cdots n+1 \right\}$

com o polinómio P_n(x) que tem grau $\leq n$, a resultante interpolação iria oscilar junto às extremidades do intervalo, ou seja, perto de -1 e 1. Pode mesmo ser provado que o erro de interpolação tende para infinito quando o grau do polinómio aumenta:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \max_{-1 \leq x \leq 1} | f(x) -P_n(x)| \right) = \infty$

Soluções para o problema do fenómeno de Runge

A oscilação pode ser minimizada usando-se os nódulos de Chebyshev em vez de nódulos equidistantes. Neste caso, o erro máximo diminui quando a ordem do polinómio aumenta.

O fenómeno demonstra que polinómios de grau elevado são normalmente pouco recomendáveis para a interpolação. O problema pode ser evitado usando curvas spline, compostos de polinómios. Quando se tenta diminuir o erro de interpolação podemos aumentar o número de peças de polinómios usadas para construir a spline, em vez de aumentar o grau do polinómio.

Ver também

• Comparar com o fenómeno de Gibbs para funções de base senoidal.