Função linear

Função linear é a função matemática que possui duas propriedades:

Aditividade:

f(x+x')=f(x)+f(x');

Homogeneidade:

f(ax)=af(x).

Em suma: $f(ax+bx')=a*f(x)+b*f(x')$

As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta com ordenada na origem, isto é, em que b=0.

Definição

Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma $y=ax,$ em que $a$ é um número real.

$y$ é a variável dependente e $x$ a variável independente;
$a$ é o coeficiente angular

Nota: geralmente os economistas chamam a qualquer reta da forma $y=mx+b$ uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, requer que a ordenada na origem seja zero para que a função seja considerada linear. Quando $b$ é diferente de zero, passa-se a chamar de função afim.

A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.

Sejam $(V,F,\oplus _{V},\otimes _{V},+,\times ){\mbox{ e }}(W,F,\oplus _{W},\otimes _{W},+,\times )$ espaços vetoriais. Uma função $f:V\rightarrow W$ é uma função linear se ela satisfaz os seguintes axiomas:

$\forall x,y\in V\ (f(x\oplus _{V}y)=f(x)\oplus _{W}f(y))$
$\forall a\in F\ \forall v\in V\ (f(a\otimes _{V}v)=a\otimes _{W}f(v))$

Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se + e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam: