Integrador simplético

Em matemática, um integrador simplético (ou simpléctico) é um métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias para sistemas hamiltonianos.

Introdução

Um sistema hamiltoniano é localmente descrito por um aberto ${\textstyle {\mathcal {P}}\subset \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {R} ^{N}}$ e uma função ${\textstyle {\mathcal {H}}:{\mathcal {P}}\rightarrow \mathbb {R} }$, onde ${\textstyle N}$ é o número de graus de liberdade do sistema, o espaço de fase é localmente homeomorfo ao conjunto ${\textstyle {\mathcal {P}}}$ e a função ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ é chamada de hamiltoniano do sistema. A evolução do sistema satisfaz às equações de Hamilton

$${\dot {q}}^{n}={\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}},\quad {\dot {p}}_{n}=-{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}.$$

Neste artigo a solução para essas equações será denotada por ${\textstyle (q(t),p(t))}$.

Definição

De acordo com o teorema de Liouville, dada uma região ${\textstyle \Omega }$ do espaço de fase, se cada ponto dessa região evolui de acordo com as equações de Hamilton então o volume dessa região é constante, essa é uma propriedade importante dos sistemas hamiltonianos e portanto temos interesse em encontrar métodos numéricos de integração que preservem essa propriedade, um integrador simplético respeita essa propriedade. Em outras palavras, a evolução do sistema é um simplectomorfismo e um integrador simplético é, por definição, um método cuja discretização é também um simplectomorfismo.

Dado que o integrador simplético respeita as propriedades geométricas do espaço de fase e das equações de Hamilton ele é indicado para o problema de muitos corpos e para integração de tempo longo em sistemas hamiltonianos, obtendo resultados consideravelmente satisfatórios se comparado com outros métodos como RK4.

Exemplos

Métodos de primeira ordem

Os integradores simpléticos de primeira ordem são ${\textstyle {\mathcal {O}}(\delta t)}$, onde ${\textstyle \delta t}$ é o tamanho do passo para discretização do tempo. Os métodos de primeira ordem são variantes do método de Euler ajustados de acordo com a geometria simplética do espaço de fase.

Euler simplético I:

• ${\textstyle {\mathcal {H}}:{\mathcal {P}}\rightarrow \mathbb {R} }$
• ${\textstyle p(t+\delta t)}$ previamente estimado utilizando outro método (na primeira iteração).

${\begin{cases}p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t)-\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t),p(t+\delta t))}\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t)+\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t),p(t+\delta t))}\end{cases}}$

 

 

 

 

(1)

Euler simplético II:

• ${\textstyle {\mathcal {H}}:{\mathcal {P}}\rightarrow \mathbb {R} }$
• ${\textstyle q(t+\delta t)}$ previamente estimado utilizando outro método (na primeira iteração).

${\begin{cases}q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t)+\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t),p(t))}\\p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t)-\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t),p(t))}\end{cases}}$

 

 

 

 

(2)

Esses métodos são, em geral, implícitos, entretanto em alguns casos particulares eles dão lugar a métodos explícitos, por exemplo:

Euler semi-implícito:

• ${\textstyle {\mathcal {H}}(q,p)=T(p)+V(q)}$

${\begin{cases}p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t)-\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}V\right\vert _{q(t)}\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t)+\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t+\delta t)}\end{cases}}$

 

 

 

 

(3)

Teorema I: Os métodos (1), (2) e (3) são simpléticos de ordem 1.

Demonstração: Cf. referências e . Note que o método (3) é um caso particular do método (1).

Métodos de segunda ordem

Os integradores simpléticos de segunda ordem são ${\textstyle {\mathcal {O}}(\delta t^{2})}$. Em geral, métodos de segunda ordem são variantes do método de Verlet, bem como o próprio método de Verlet.

Störmer-Verlet I:

• ${\textstyle {\mathcal {H}}:{\mathcal {P}}\rightarrow \mathbb {R} }$
• ${\textstyle p(t+\delta t/2)}$ e ${\textstyle q(t+\delta t)}$ previamente estimados utilizando outro método (na primeira iteração).

${\begin{cases}p_{n}(t+\delta t/2)&\approx p_{n}(t)-{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t),p(t+\delta t/2))}\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t)+{\frac {\delta t}{2}}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t),p(t+\delta t/2))}+\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t),p(t+\delta t/2))}\right)\\p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t+\delta t/2)-{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t),p(t+\delta t/2))}\end{cases}}$

 

 

 

 

(4)

Störmer-Verlet II:

• ${\textstyle {\mathcal {H}}:{\mathcal {P}}\rightarrow \mathbb {R} }$
• ${\textstyle q(t+\delta t/2)}$ e ${\textstyle p(t+\delta t)}$ previamente estimados utilizando outro método (na primeira iteração).

${\begin{cases}q^{n}(t+\delta t/2)&\approx q^{n}(t)+{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t/2),p(t))}\\p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t)-{\frac {\delta t}{2}}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t/2),p(t))}+\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t/2),p(t+\delta t))}\right)\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t+\delta t/2)+{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t/2),p(t+\delta t))}\end{cases}}$

 

 

 

 

(5)

Como acontece para os métodos de Euler, o caso do hamiltoniano separável permite desenvolver métodos explícitos derivados desses, que são implícitos.

Verlet:

• ${\textstyle {\mathcal {H}}(q,p)=T(p)+V(q)}$

${\begin{cases}q^{n}(t+\delta t/2)&\approx q^{n}(t)+{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t)}\\p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t)-\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}V\right\vert _{q(t+\delta t/2)}\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t+\delta t/2)+{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t+\delta t)}\end{cases}}$

 

 

 

 

(6)

Teorema II: Os métodos (4), (5) e (6) são simpléticos de ordem 2.

Demonstração: Cf. referência e . Note que o método (6) é um caso particular do método (5).

Métodos de terceira ordem

Os integradores simpléticos de terceira ordem são ${\textstyle {\mathcal {O}}(\delta t^{3})}$.

Ronald D. Ruth:

• ${\textstyle {\mathcal {H}}(q,p)=T(p)+V(q)}$
• ${\textstyle c_{1}+c_{2}+c_{3}=1}$, ${\textstyle d_{1}+d_{2}+d_{3}=1}$, ${\textstyle c_{2}d_{1}+c_{3}(d_{1}+d_{2})=1/2}$, ${\textstyle c_{2}+d_{1}^{2}+c_{3}(d_{1}+d_{2})^{2}=1/3}$ e ${\textstyle d_{3}+d_{2}(c_{1}+c_{2})^{2}+d_{1}c_{1}^{2}=1/3}$.

${\begin{cases}p_{n}(t+c_{1}\delta t)&\approx p_{n}(t)-c_{1}\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}V\right\vert _{q(t)}\\q^{n}(t+d_{1}\delta t)&\approx q^{n}(t)+d_{1}{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t+c_{1}\delta t)}\\p_{n}(t+(c_{1}+c_{2})\delta t)&\approx p_{n}(t+c_{1}\delta t)-c_{2}\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}V\right\vert _{q(t+d_{1}\delta t)}\\q^{n}(t+(d_{1}+d_{2})\delta t)&\approx q^{n}(t+d_{1}\delta t)+d_{2}\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t+(c_{1}+c_{2})\delta t)}\\p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t+(c_{1}+c_{2})\delta t)-c_{3}\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}V\right\vert _{q(t+(d_{1}+d_{2})\delta t)}\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t+)+d_{3}\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t+\delta t)}\\\end{cases}}$

 

 

 

 

(7)

Por exemplo: ${\textstyle c_{1}=7/24}$, ${\textstyle c_{2}=3/4}$, ${\textstyle c_{3}=-1/24}$, ${\textstyle d_{1}=2/3}$, ${\textstyle d_{2}=-2/3}$ e ${\textstyle d_{3}=1}$.

Teorema III: O método (7) é simplético de ordem 3.

Demonstração: Cf. referência .