Teorema de Liouville

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O teorema de Liouville é um teorema de análise complexa que diz que uma função complexa inteira e limitada é constante. Este teorema permite demonstrar o teorema fundamental da álgebra de forma simples.

Demonstrações[editar | editar código-fonte]

Em ambas as demonstrações, seja M um majorante de |f|.

Primeira demonstração[editar | editar código-fonte]

Seja z ∈ C. Para cada r > |z|, tem-se, pelas desigualdades de Cauchy (com n = 1), |f′(z)| < M/r. Mas então

|f'(z)|\leqslant\lim_{r\rightarrow+\infty}\frac Mr=0.

Logo, f′(z) = 0. Como isto acontece para cada z ∈ C, f é constante.

Segunda demonstração[editar | editar código-fonte]

Sejam z e w números complexos e seja r um número real tal que |z|,|w| ≤ r. Seja

\begin{array}{rccc}\gamma(r)\colon&[0,2\pi]&\longrightarrow&\mathbb{C}\\&t&\mapsto&re^{it}.\end{array}

Então, pela fórmula integral de Cauchy:

f(z)=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-z}du e f(w)=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-w}du

pelo que

\begin{align}|f(z)-f(w)|&=\left|\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-z}du-\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-w}du\right|\\&=\frac1{2\pi}\left|\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-z}-\frac{f(u)}{u-w}du\right|\\&=\frac1{2\pi}\left|\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)(z-w)}{(u-z)(u-w)}du\right|\\&\leqslant\frac{2\pi rM|z-w|}{2\pi(r-|z|)(r-|w|)}\\&=\frac{r|z-w|}{(r-|z|)(r-|w|)}\cdot\end{align}

Logo,

|f(z)-f(w)|\leqslant\lim_{r\rightarrow+\infty}\frac{r|z-w|}{(r-|z|)(r-|w|)}=0.

Corolário[editar | editar código-fonte]

O teorema de Liouville afirma que a imagem de uma função inteira não constante f não é um conjunto limitado. De facto, a imagem de uma função inteira não constante é sempre um conjunto denso. Este resultado parece muito mais forte do que o teorema de Liouville, mas é um corolário dele. De facto, suponha-se que a imagem de f não era densa. Então haveria algum número complexo w e algum r > 0 tal que a imagem de f não conteria nenhum elemento do disco de centro r centrado em w. Mas então se se definisse

\begin{array}{rccc}g\colon&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}\\&z&\mapsto&\frac1{w-f(z)},\end{array}

a função g seria inteira não constante e, para cada z ∈ C ter-se-ia

|g(z)|=\left|\frac1{w-f(z)}\right|=\frac1{|w-f(z)|}<\frac1r,

pelo que g seria limitada, o que contradiz o teorema de Liouville.

Generalizações[editar | editar código-fonte]

Um teorema mais forte do que o teorema de Liouville é o pequeno teorema de Picard, que afirma que se f é uma função inteira não constante, então a sua imagem é C ou C \ {a}, para algum a ∈ C. Um teorema ainda mais forte é o grande teorema de Picard, que afirma que se f for uma função inteira não polinomial e se w ∈ C, então a equação f(z) = w tem uma infinidade de soluções com, quando muito, uma excepção.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.
  • J. Conway, Functions of One Complex Variable, Berlin: Springer-Verlag, 1978.
  • R. Remmert, Classical Topics on Complex Function Theory, Berlin: Springer-Verlag, 1998.