Método do círculo de Hardy e Littlewood

Em matemática, o método cíclico de Hardy-Littlewood é uma das técnicas mais frequentemente usadas da teoria analítica dos números. O seu nome provém de Godfrey Harold Hardy e J. E. Littlewood, que o desenvolveram numa série de artigos sobre o problema de Waring.

Histórico

O germe inicial da ideia é atribuído geralmente ao trabalho feito por Hardy e Ramanujan alguns anos antes, em 1916 e em 1917, sobre o comportamento assimptótico da função partição. Foi empregue por muitos outros investigadores, incluindo Harold Davenport e I. M. Vinogradov, que modificaram a formulação ligeiramente (movendo-se da Análise Complexa para somas exponenciais), sem mudar as principais ideias. O método ainda produz resultados.

Objetivo

O círculo em questão era inicialmente o círculo unitário no plano complexo. Supor o problema tinha sido formulado primeiramente nos termos que para uma sucessão de números complexos:

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$

nós queremos alguma informação assimptótica do tipo:

a_n ~ F(n)

onde se tem alguma razão heurística para conjecturar a forma de F, escreve-se:

$f(z)=\sum a_{n}z^{n}$

uma série de potências que é uma função geradora. Os casos interessantes são onde a série anterior tem raio de convergência igual a 1, e nós supomos que o problema como colocado esteve modificado para apresentar esta situação. Dessa formulação, é consequência directa do teorema dos resíduos que:

$I_{n}=\int f(z)z^{-(n+1)}\,dz=2\pi ia_{n}$

para inteiros n ≥ 0, onde o integral é calculado ao longo do círculo de centro 0 e raio r percorrido uma vez no sentido directo, para qualquer r tal que 0 < r < 1.

Bibliografia

• Hans Rademacher, Topics in Analytic Number Theory, Springer-Verlag, 1973, ISBN 3-540-05447-2