Modelo de Gordon

O Modelo de Gordon ou modelo de crescimento de Gordon ou método de Gordon e Shapiro é um modelo de atualização do preço de ações, elaborado em 1956, e tem o nome de seus autores, Myron J. Gordon e Eli Shapiro O modelo, também chamado de "crescimento perpétuo", não leva em conta os ganhos de capital. De fato, considera que, uma vez que o fluxo de dividendos é perpétuo (isto é, tende ao infinito), o ganho de capital não incide sobre a avaliação da ação.

Trata-se de uma variação do modelo de análise de fluxos de caixa descontados que pressupõe o crescimento de dividendos a uma taxa constante. Por isso é adequado somente para empresas com crescimento constante ao longo do tempo, isto é, empresas consideradas estáveis e cujos dividendos estejam a crescer a uma taxa g constante a longo prazo. O modelo pressupõe também que a taxa de retorno desejada permaneça constante, e que o custo do capital próprio, isto é, expectativa de retorno sobre o patrimônio líquido k seja tal que k>g . O modelo envolve o somatório de infinitas séries cujo resultado é o preço corrente Po.

Sua principal vantagem é o fato de requerer a estimativa de apenas três variáveis: valor corrente dos dividendos do próximo ano (D1), o custo do capital próprio (k) e a taxa de crescimento dos dividendos (g).

Descrição

A fórmula proposta por Gordon e Shapiro é:

$P_0=\frac{D_1}{k-g}$ sendo:

• $P_0$ = valor teórico da ação
• $D_1$ = dividendo antecipado do primeiro período
• $k$ = Rentabilidade esperada pelo acionista
• $g$ = Taxa de crescimento do lucro bruto por ação

Demonstração

Parte-se do modelo de Durand, que integra hipóteses sobre dividendos futuros e sobre o preço de revenda estimado, ao cabo de n anos: o preço de uma ação hoje ($P_0$) é igual à soma dos fluxos de caixa atualizadaos à taxa do período ($k_t$) isto é seus dividendos ($D_t$) pagos a cada período t bem como seu preço de revenda futuro ($P_T$):

$P_0 = \sum_{t=1}^T \frac{D_t}{ \prod_{i=1}^t (1+ k_i)} + \frac{P_T}{ \prod_{i=1}^T (1+ k_i)}$

Ora, o preço de revenda em T será igual a esta mesma fórmula, seguindo assim até o infinito, pois uma ação normalmente não é reembolsada. Em finanças, frequentemente se supõe que a taxa de atualização é a mesma a cada período, isto é $k_1 = k_t = k$ (do contrário, utilizar-se-á uma média geométrica das taxas sobre a totalidade dos períodos). Deduz-se, então, que:

$P_0 = \sum_{t=1}^\infty \frac{D_t}{(1+ k)^t}$

Gordon e Shapiro supõem que a cada período, o dividendo pago é uma fração constante dos lucros da empresa: $D_t = \alpha B_t$. Supõe-se também que os lucros crescem a uma taxa constantes. Logo, os dividendos também crescem segundo a mesma taxa observada $g$, donde:

$D_t = (1+g)^t \cdot D_0 = (1+g)^{t-1} \cdot D_1$

Aplicando-se o que foi demonstradao acima ao modelo de Durand:

$P_0 = \sum_{t=1}^\infty \frac{(1+g)^{t-1} D_1}{(1+k)^t} = \frac{D_1}{1+k} \cdot \sum_{t=1}^\infty \frac{(1+g)^{t-1} }{(1+k)^{t-1} }$

Sabe-se que, para toda progressão geométrica de razão $q$, sendo $q$ menor do que 1, sua série (soma dos termos da progressão) ao infinito é: $\sum_{i=0}^\infty q^i = \frac{1}{1-q}$

Portanto:

$P_0 = \frac{D_1}{1+k} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1+g}{1+k}} = \frac{D_1}{1+k} \cdot \frac{1}{\frac{1+k-1-g}{1+k}}$

$P_0 = \frac{D_1}{k-g}$

Limitações do modelo

A principal limitação do modelo consiste no pressuposto que os dividendos vão ser distribuídos, podendo em alguns casos a empresa decidir não o fazer, sendo o modelo completamente ineficaz se for esse o caso.

A validade dos pressupostos utilizados é fundamental para o bom funcionamento do modelo. Porém, é muito difícil para o analista conseguir estimar valores que sejam completamente correctos. Algumas das limitações do modelo são as seguintes:

• O custo do capital próprio é determinado por variáveis de difícil determinação e com grande subjectividade que conduzem a uma enorme interferência sobre o resultado final.
• A taxa de crescimento dos dividendos é muito difícil de ser estimada.
• Os dividendos não são certos, nem previamente determinados;
• O mercado financeiro e a exigência de rentabilidade por parte dos accionistas varia ao longo do tempo e não é igual para todos os accionistas;
• O modelo só é aplicável se o custo do capital próprio for superior à taxa de crescimento dos dividendos.

Segundo Damodaran, existem algumas dificuldades de avaliar certas empresas usando o modelo de Gordon, tais como:

• Empresas com dificuldades financeiras e expectativas de fluxo de caixa negativo nos próximos períodos. Estimar lucros futuros é difícil e existe a possibilidade de falência da empresa. Também será preciso estimar os fluxos de caixa até se tornarem positivos, pois valores negativos de fluxo de caixa geram resultados negativos na avaliação.
• Nas empresas que possuem lucros e fluxos de caixa que seguem a economia, subindo durante as boas fases e caindo durante as recessões. Estas empresas precisam ter os fluxos de caixa esperado ponderado.
• Como a avaliação por fluxos de caixa reflecte o valor de todos os activos que possuem fluxos de caixa, as empresas que possuem activos não utilizados, que não geram fluxos de caixa, terão uma avaliação que não reflectirá o valor destes activos.
• Empresas que estão em processo de reestruturação frequentemente vendem alguns activos, adquirem outros, mudam a sua estrutura de capital, políticas de dividendos ou até podem passar ser de capital fechado, o que torna difícil a estimação de fluxos de caixa futuros.

Segundo o mesmo autor, o modelo de crescimento de Gordon relaciona o valor de uma acção com seus dividendos esperados no próximo período de tempo, com a taxa exigida de retorno da acção e com a taxa de crescimento esperada dos dividendos.

O modelo é muito sensível uma vez que, à medida que a taxa de crescimento converge para a taxa de desconto, o valor da acção tende ao infinito. O modelo ajusta-se melhor a empresas com uma taxa comparável ou inferior à taxa de crescimento da economia. Pode-se concluir que a taxa de crescimento perpétua irá variar de acordo com as expectativas dos analistas em relação à economia e à inflação.

Estimativa do custo do capital próprio pelo Modelo de Gordon

Por custo do capital próprio entende-se a a rentabilidade que um investidor pode esperar obter num investimento de risco semelhante ou a expectativa de retorno sobre o patrimônio líquido ou .

A partir da fórmula de Gordon e Shapiro, tem-se que o custo do capital próprio k será:

$k=\frac{D_1}{P_0}+g$

Ver também

• Matemática financeira

Referências

• NEVES, João Carvalho das; Avaliação de Empresas e Negócios. McGraw-Hill

Ligações externas

• The Gordon Model: Derivation & Relation To P/E Multiple (em inglês) , por Jay B. Abrams, 1994.