Polinômios associados de Legendre

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Os polinômios associados de Legendre são uma família de polinômios ortogonais que são soluções da equação diferencial de Legendre (que aparece no estudo do modelo quântico do átomo de hidrogênio):

 (1-x^2)y''(x)-2xy'(x)+\left( l(l+1)+\frac{m^2}{(1-x^2)} \right) \, = \, 0

Para l, \, m \in \mathbb{Z}, a solução da equação é da forma

y(x) \, = \, P^m_l(x)

Onde P_l^m(x) são os já mencionados polinômios associados de Legendre, dados pela fórmula de Olinde Rodrigues:

P^m_l(x) \, = \, \frac{(-1)^m}{l!\, 2^l}(1-x^2)^{{m}/{2}}\frac{\text{d}^{l+m}}{\text{d}x^{l+m}}(x^2-1)^l

para m positivo. Para m negativo,

P^{-m}_l(x) \, = \, (-1)^m \frac{(l-m)!}{(l+m)!} P^m_l(x)

Em geral, a resolução da equação de Laplace em coordenadas esféricas tem como solução esta equação, mas a equação de Laplace é escrita de forma diferente. Fazendo x=\cos \theta, teremos

\text{sen} \theta \frac{\text{d}}{\text{d}\theta}\left( \text{sen} \theta \frac{\text{d}}{\text{d}\theta}\Theta(\theta)\right)+\left[l(l+1)-m^2 \right]\Theta(\theta) \, = \, 0

Expressão explícita[editar | editar código-fonte]

Desenvolvendo a fórmula de Rodrigues, podemos obter uma expressão explícita para os polinômios, que é

P_m^n(x) \, = \, (1-x^2)^{m/2}\sum_{k=m}^{n} \frac{n!}{2^n k!}\frac{(m+n)!(x-1)^{n-k}(x+1)^{k-m}}{(m+l-k)!(l-k)!(k-m)!}

Tal expressão é muito útil para um programa de computador que calcula o valor de um polinômio de Legendre em  x=x_0.

Função geratriz e ortogonalidade[editar | editar código-fonte]

Existe uma função com a seguinte propriedade: se ela é expandida em uma série de Taylor em torno de x_0=0, os coeficientes da expansão são os polinômios associados de Legendre:

 \mathcal{G} (x, \, t) \, = \, (-1)^m(1-x^2)^{m/2}\left(\frac{t}{2}\right)^m\frac{(2m)!}{m!}(1-2xt+t^2)^{-(m+1/2)}

Esse recurso é especialmente útil quando se quer fazer cálculos que envolvem a integração dos polinômios de Legendre. Em particular, para calcular a sua norma, como já mencionado, estes são polinômios ortogonais em relação a um produto interno definido por

 \langle \mathbf{u} | \mathbf{v} \rangle \, = \, \int_{-1}^{1} u(x)v(x) \, \text{d} x

Logo, para os polinômios de Legendre teremos

 \langle P_{n}^{m} | P_{n}^{k} \rangle \, = \, N_{km}\delta_{km}

Isto significa que os polinômios formam uma base para o espaço de Hilbert, e a expressão acima é chamada relação de ortogonalidade (lembre-se que consideramos o caso quando m e l são inteiros). O fato de eles formarem uma base num espaço de Hilbert é uma característica importante na mecânica quântica. O termo  N_{km} que aparece na expressão acima é a norma dos polinômios associados de Legendre, que pode ser calculada igualando-se o produto interno de um polinômio por ele mesmo.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Arfken G.B., Weber H.J., Mathematical methods for physicists, (2001) Academic Press, ISBN 0-12-059825-6 ver seção 12.5.
  • A.R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, (1957) Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9 ver capítulo 2.
  • E. U. Condon and G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, (1970) Cambridge, England: The University Press. OCLC 5388084 ver capítulo 3
  • F. B. Hildebrand, Advanced Calculus for Applications, (1976) Prentice Hall, ISBN 0-13-011189-9
  • Belousov, S. L. (1962), Tables of normalized associated Legendre polynomials, Mathematical tables series Vol. 18, Pergamon Press, 379p.

Ver também[editar | editar código-fonte]