Regra do paralelogramo

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Um paralelogramo. Os lados estão desenhados em azul e as diagionais em vermelho.

Em matemática, a regra do paralelogramo (ou identidade do paralelogramo) é uma propriedade de geometria que relaciona a soma do quadrado do lados de um paralelogramo com a soma do quadrado de suas diagonais. Essa propriedade pode ser generalizada para qualquer espaço vetorial munido de um produto interno e, em particular, para um espaço euclidiano.

Usando a notação do diagrama à direita, os lados são denotados (AB), (BC), (CD), (DA). Em geometria Euclidiana, um paralelogramo tem os lados opostos iguais, de forma que (AB) = (CD) e (BC) = (DA). Assim, a lei pode ser expressa como

2(AB)^2+2(BC)^2=(AC)^2+(BD)^2\,

No caso em que o paralelogramo é um retângulo, as duas diagonais têm comprimentos iguais (AC) = (BD). Nesse caso, a identidade se reduz ao teorema de Pitágoras:

2(AB)^2+2(BC)^2=2(AC)^2\,

Identidade do paralelogramo em espaços com produto interno[editar | editar código-fonte]

Em um espaço vetorial munido de um produto interno, uma norma pode ser definida a partir do produto interno:

\|x\|^2=\langle x, x\rangle.\,

Como consequência dessa definição, em um espaço vetorial munido de um produto interno, a identidade do paralelogramo é resultado de manipulações algébricas do produto interno.

Sejam x e y elementos desse espaço vetorial, então:

\|x+y\|^2=\langle x+y, x+y\rangle= \langle x, x\rangle + \langle x, y\rangle +\langle y, x\rangle +\langle y, y\rangle, \,
\|x-y\|^2 =\langle x-y, x-y\rangle= \langle x, x\rangle - \langle x, y\rangle -\langle y, x\rangle +\langle y, y\rangle. \,

Adicionando essas expressões, estabelecemos a identidade do paralelogramo

\|x+y\|^2+\|x-y\|^2 = 2\langle x, x\rangle + 2\langle y, y\rangle  = 2\|x\|^2+2\|y\|^2, \,

Se x e y são ortogonais nesse espaço, então  \langle x ,\ y\rangle  = 0 e a equação acima se reduz à

\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2,

que corresponde ao teorema de Pitágoras.

Espaços vetoriais normados satisfazendo a identidade do paralelogramo[editar | editar código-fonte]

Um fato remarcável é que pode se definir um produto interno para um espaço vetorial normado sobre R que satisfaz a identidade do paralelogramo. A demonstração desse fato é uma consequência diretas das identidades de polarização. Para espaços de Banach complexos, demonstra-se o mesmo resultado a partir do Teorema de Von Neumann - Jordan[1] .

Referências

  1. The Jordan-Von Neumann Theorem. Página visitada em 6 de maio de 2012.
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