Superfícies de Bézier

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Exemplo de Superfície de Bézier.

Superfícies de Bézier são uma espécie de Splines matemáticas usadas em computação gráfica, sistemas CAD, e modelagem por elementos finitos. Tal como acontece com as curvas de Bézier, as superfícies de Bézier são definidas por um conjunto de pontos de controle. Semelhante com a interpolação em muitos aspectos, uma das diferenças fundamentais é que uma superfície de Bézier em geral não passa pelos pontos de controle centrais, mas é "esticada" na direção de cada um deles como se houvesse uma força atrativa. O que é visualmente intuitivo, e conveniente para muitas aplicações matemáticas. [1]

A Superfície de Bézier é de continuidade G2.[2]

História[editar | editar código-fonte]

Ela foi desenvolvida em 1962 e seu nome é devido a quem publicou o primeiro trabalho sobre a curva, o francês Pierre Bézier, funcionário da Renault, que a usou para o design de automóveis. Ela foi desenvolvida a partir do Algoritmo de De Casteljau, em 1957, (Paul de Casteljau, Citroën) e formalizada na década de 60. As superfícies de Bézier podem ser de qualquer grau, porém as bicubicas proporcionam grau de liberdade suficiente para grande variedade de aplicações.[3]

Equação[editar | editar código-fonte]

Uma dada superfície de ordem (nm) é definida por um conjunto de (n + 1)(m + 1) pontos de controle ki,j. Ela mapeia a unidade quadrada em uma superfície lisa contínua, embutidas dentro de um espaço de mesma dimensão como { ki,j }. Por exemplo, se os k são pontos em um espaço de quatro dimensões, então a superfície estará dentro de um espaço de quatro dimensões.[4] A superfície de Bézier de duas dimensões pode ser definida por uma superfície paramétrica onde as posições dos pontos p, como uma função das coordenadas paramétricas u, v, são dadas por:

Curvas de Bézier.
\mathbf{p}(u, v) = 
     \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m 
     B_i^n(u) \; B_j^m(v) \; \mathbf{k}_{i,j}

avaliados ao longo da unidade quadrada, onde


 B_i^n(u) = {n \choose i} \; u^i (1-u)^{n-i}

é o polinômio de Bernstein, e

 {n \choose i} = \frac{n!}{i! (n-i)!}

é o coeficiente binomial.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Gerald Farin. Curves and Surfaces for CAGD, 5th ed. published by Academic Press. ISBN 1558607374.
  • Bartels, R. H.; Beatty, J. C.; and Barsky, B. A. "Bézier Curves." Ch. 10 in An Introduction to Splines for Use in Computer Graphics and Geometric Modelling. San Francisco, CA: Morgan Kaufmann, pp. 211-245, 1998.
  • Piegl, L. Fundamental Developments of Computer Aided Geometric Design. San Diego, CA: Academic Press, 1993.

Referências

  1. Shene, C.-K. "Introduction to Computing with Geometry Notes. Unit 5: Bézier Curves, página visitada em 4 de fevereiro de 2014.
  2. Mc Neel. Continuity Descriptions Documentos do McNeel - Rhino 5. Visitado em 07 de outubro de 2013.
  3. Teoria Local das Curvas, Roberto Simoni (2005), p. 53, página visitada em 4 de fevereiro de 2014.
  4. Wolfram Mathworld, página visitada em 4 de fevereiro de 2014.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]