Taxa marginal de substituição

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Em microeconomia, a taxa marginal de substituição do bem A pelo bem B, representado por TMgS (B,A), mede a taxa à qual o consumidor está propenso a substituir o bem A pelo bem B [1] . Em outras palavras, esta taxa mede o número de unidades do bem B que devem ser ganhas por unidade sacrificada do bem A, de modo a manter o mesmo nível de satisfação (utilidade).

Em um mapa de curvas de indiferença, e para cada combinação de bens, a TMgS é dada pela inclinação da curva naquele ponto, que passa no ponto que representa essa combinação de bens. Exceto em curvas de indiferença de substitutos ou complementares perfeitos, a TMgS é a mesma em todos os pontos.

A taxa marginal de substituição geralmente depende da quantia de cada bem que o consumidor possui no momento e, como as pessoas estão mais dispostas a trocar bens que têm em abundância pelos que tem em escassez, a taxa é sempre maior para um bem que se tem mais.

Análise matemática básica[editar | editar código-fonte]

Represente a função de utilidade como U(x,y), onde U é a função de utilidade, x e y são bens. Adicionalmente:

{\color{Red}U_x=\partial U/\partial x} = utilidade marginal com respeito ao bem x
{\color{OliveGreen}U_y=\partial U/\partial y} = utilidade marginal com respeito ao bem y

Ao tomarmos a Diferencial total da função de utilidade, obtém-se:

\ dU={\color{Red}\partial U/\partial x}dx + {\color{OliveGreen}\partial U/\partial y}dy , ou, substituindo, \ dU= {\color{Red}U_x}dx + {\color{OliveGreen}U_y}dy

Considerando a Derivada total da função de utilidade com respeito ao bem x,

\frac{dU}{dx}= U_x\frac{dx}{dx}+ U_y\frac{dy}{dx}, ou seja, \frac{dU}{dx}= U_x.1 + U_y\frac{dy}{dx}.

Em qualquer ponto da curva de indiferença temos dU/dx = 0, porque U = c, onde c é uma constante. Então:

 0 = U_x + U_y\frac{dy}{dx}, rearrumando, -\frac{dy}{dx} = \frac{{\color{Red}U_x}}{{\color{OliveGreen}U_y}}

A taxa marginal de substituição é definida como menos a inclinação da curva de indiferença para qualquer cesta de bens que se considere (lado esquerdo da equação acima). Dessa maneira, ela se torna igual à razão entre as utilidades marginais de x e y:

\ TMgS_{xy}={\color{Red}U_x}\over{\color{OliveGreen}U_y} = {\color{Red}\partial U/\partial x}\over{\color{OliveGreen}\partial U/\partial y}.[2]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Quando os consumidores maximizam utilidade sujeitos a uma restrição orçamentária, a curva de indiferença é tangente à reta orçamentária, que representa as cestas de bens que custam exatamente a renda do consumidor, ou seja, considerando a renda m e os preços p_x e p_y:

\ m=p_x x + p_y y é, por definição, a reta orçamentária. Então:
\ y=\frac{m}{p_y} - \frac{p_x}{p_y}x

Mas a TMgS tangencia a reta orçamentária, possuindo a mesma inclinação dela nesse ponto:  TMgS_{xy} = -dy/dx , ou seja,  TMgS_{xy} = p_x/p_y . Dessa forma, quando o consumidor escolhe a cesta que maximiza sua utilidade, dentro de sua restrição orçamentária,

\ U_x/U_y=p_x/p_y
\ U_x/p_x=U_y/p_y

Este resultado importante nos diz que o consumidor maximiza utilidade ao alocar os recursos orçamentários de tal maneira que mantenha a mesma razão entre a utilidade marginal e preços para todos os bens. A intuição econômica por trás desse resultado é que o consumidor maximiza utilidade ao igualar: i) a razão de troca dada pelo mercado,  _\frac{p_x}{p_y} , que informa o custo de oportunidade da aquisição de uma unidade de x em termos de  _\frac{p_x}{p_y} unidades do bem y; e ii) a razão entre as utilidades marginais de x e y, que é a taxa marginal de substituição, a quantidade que o consumidor abre mão no consumo de y para consumir mais de x, permanecendo com o mesmo nível de satisfação, ou seja, permanecendo na mesma curva de indiferença.

  • Num ótimo interior (ou seja, que não é de canto), a taxa marginal de substituição entre quaisquer dois bens deve ser igual à razão entre seus preços[2]
\frac{{\color{Red}\partial U/\partial x}}{{\color{OliveGreen}\partial U/\partial y}}=\frac{p_x}{p_y}

Equilíbrio econômico[editar | editar código-fonte]

Quando as taxas marginais de substituição entre o bem x e o bem y forem diferentes para dois consumidores (consumidor {\color{RubineRed}i} e consumidor {\color{RoyalBlue}j}), isso significa que o consumidor "i" confere maior valor a um bem, enquanto o indivíduo "j" confere maior valor a outro. Nessa situação, há espaço para uma troca mutuamente benéfica (ou seja, uma melhora de Pareto)[3] .

O equilíbrio econômico é atingido quando a taxa marginal de substituição entre cada par de bens é igual para todos os consumidores. Matematicamente, portanto, teremos[3] :

Fórmula matemática Interpretação
 :\ TMgS_{xy}^{\color{RubineRed}i}=\ TMgS_{xy}^{\color{RoyalBlue}j} No equilíbrio econômico, a taxa marginal de substituição entre os bens x e y, para o consumidor {\color{RubineRed}i}, é idêntica á taxa marginal de substituição entre os mesmos bens para o consumidor {\color{RoyalBlue}j}
\left ( \frac{{\color{Red}U_x}}{{\color{OliveGreen}U_y}} \right )^{\color{RubineRed}i}= \left ( \frac{{\color{Red}U_x}}{{\color{OliveGreen}U_y}} \right )^{\color{RoyalBlue}j} Como a taxa marginal de substituição é igual entre a razão entre as utilidades marginais, o equilíbrio econômico também pode ser entendido como: a razão entre as utilidades marginais para dos bens y e y, para o {\color{RubineRed}i}, deve ser igual à razão do consumidor {\color{RoyalBlue}j}

A Taxa Marginal de Substituição Técnica[editar | editar código-fonte]

A taxa marginal de substituiçaõ técnica é a taxa analoga a TMgS para o lado da oferta, em um mercado. Essa taxa representa o que uma empresa pode substituir de um fator produtivo por outro, mantendo o mesmo nível de produção. Num mapa de curvas isoquantas a Taxa Marginal de Substituição Técnica, é dada, assim como a TMgS, pela inclinação da curva que passa no ponto que representa da referida combinação de fatores de produção.

Referências

  1. VARIAN, Hal. Microeconomia - Principios Basicos. Rio de Janeiro: Editora Elsevier, 2006, 9ª reimpressão, p. 50. Tradução da 7ª edição em inglês.
  2. a b MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael D., e GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. Oxford University press, 1995. ISBN 978-0-19-507340-9. Página 54.
  3. a b RESENDE, Caio Cordeiro de. Falhas de Mercado: uma análise comparativa da escola do setor público tradicional e da escola austríaca. Brasília: 2012, p. 24-5. Disponível em: <http://repositorio.unb.br/bitstream/10482/11094/2/2012_CaioCordeirodeResende.pdf>. Acesso em: 30 de setembro de 2013.
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