Taxa marginal de substituição

Em microeconomia, Taxa marginal de substituição, representado por TMgS é o quanto um consumidor está disposto a trocar de um bem que possui por outro, a fim de manter seu grau de utilidade inalterado, permanecendo sob a mesma curva de indiferença.

Em um mapa de curvas de indiferença, e para cada combinação de bens, a TMgS é dada pela inclinação da curva naquele ponto, que passa no ponto que representa essa combinação de bens. Exceto em curvas de indiferença de substitutos ou complementares perfeitos a TMgS é a mesma em todos os pontos.

A taxa marginal de substituição geralmente depende da quantia de cada bem que o consumidor possui no momento e, como as pessoas estão mais dispostas a trocar bens que têm em abundância pelos que tem em escassez, a taxa é sempre maior para um bem que se tem mais.

Análise matemática básica

Represente a função de utilidade como $U(x,y)$, onde U é a função de utilidade, x e y são bens. Adicionalmente:

${\color{Red}U_x=\partial U/\partial x}$ = utilidade marginal com respeito ao bem x

${\color{OliveGreen}U_y=\partial U/\partial y}$ = utilidade marginal com respeito ao bem y

Ao tomarmos a Diferencial total da função de utilidade, obtém-se:

$\ dU={\color{Red}\partial U/\partial x}dx + {\color{OliveGreen}\partial U/\partial y}dy$, ou, substituindo, $\ dU= {\color{Red}U_x}dx + {\color{OliveGreen}U_y}dy$

Considerando a Derivada total da função de utilidade com respeito ao bem x,

$\frac{dU}{dx}= U_x\frac{dx}{dx}+ U_y\frac{dy}{dx}$, ou seja, $\frac{dU}{dx}= U_x.1 + U_y\frac{dy}{dx}$.

Em qualquer ponto da curva de indiferença temos dU/dx = 0, porque U = c, onde c é uma constante. Então:

$0 = U_x + U_y\frac{dy}{dx}$, rearrumando, $-\frac{dy}{dx} = \frac{{\color{Red}U_x}}{{\color{OliveGreen}U_y}}$

A taxa marginal de substituição é definida como menos a inclinação da curva de indiferença para qualquer cesta de bens que se considere (lado esquerdo da equação acima). Dessa maneira, ela se torna igual à razão entre as utilidades marginais de x e y:

$\ TMgS_{xy}={\color{Red}U_x}/{\color{OliveGreen}U_y} ={\color{Red}\partial U/\partial x}/{\color{OliveGreen}\partial U/\partial y}$.

Propriedades

Quando os consumidores maximizam utilidade sujeitos a uma restrição orçamentária, a curva de indiferença é tangente à reta orçamentária, que representa as cestas de bens que custam exatamente a renda do consumidor, ou seja, considerando a renda m e os preços $p_x$ e $p_y$:

$\ m=p_x x + p_y y$ é, por definição, a reta orçamentária. Então:

$\ y=\frac{m}{p_y} - \frac{p_x}{p_y}x$

Mas a TMgS tangencia a reta orçamentária, possuindo a mesma inclinação dela nesse ponto: $TMgS_{xy} = -dy/dx$, ou seja, $TMgS_{xy} = p_x/p_y$. Dessa forma, quando o consumidor escolhe a cesta que maximiza sua utilidade, dentro de sua restrição orçamentária,

$\ U_x/U_y=p_x/p_y$

$\ U_x/p_x=U_y/p_y$

Este resultado importante nos diz que o consumidor maximiza utilidade ao alocar os recursos orçamentários de tal maneira que mantenha a mesma razão entre a utilidade marginal e preços para todos os bens. A intuição econômica por trás desse resultado é que o consumidor maximiza utilidade ao igualar: i) a razão de troca dada pelo mercado, $_\frac{p_x}{p_y}$, que informa o custo de oportunidade da aquisição de uma unidade de x em termos de $_\frac{p_x}{p_y}$ unidades do bem y; e ii) a razão entre as utilidades marginais de x e y, que é a taxa marginal de substituição, a quantidade que o consumidor abre mão no consumo de y para consumir mais de x, permanecendo com o mesmo nível de satisfação, ou seja, permanecendo na mesma curva de indiferença.

• Num ótimo interior (ou seja, que não é de canto), a taxa marginal de substituição entre quaisquer dois bens deve ser igual à razão entre seus preços

$\frac{{\color{Red}\partial U/\partial x}}{{\color{OliveGreen}\partial U/\partial y}}=\frac{p_x}{p_y}$

A Taxa Marginal de Substituição Técnica

A taxa marginal de substituiçaõ técnica é a taxa analoga a TMgS para o lado da oferta, em um mercado. Essa taxa representa o que uma empresa pode substituir de um fator produtivo por outro, mantendo o mesmo nível de produção. Num mapa de curvas isoquantas a Taxa Marginal de Substituição Técnica, é dada, assim como a TMgS, pela inclinação da curva que passa no ponto que representa da referida combinação de fatores de produção.