Teorema de Knaster–Tarski

O Teorema de Knaster–Tarski, por Bronisław Knaster e Alfred Tarski, é um resultado matemático em teoria da ordem sobre reticulados que diz o seguinte:

Seja L um reticulado completo e f : L → L uma função monótona. Então o conjunto de pontos fixos de f em L também é um reticulado completo.

O teorema determina ainda a forma geral do máximo e do mínimo do conjunto de pontos fixos de f. O teorema na sua forma mais geral, foi originalmente enunciado por Tarski; e assim o teorema é muitas vezes conhecido como teorema do ponto fixo de Tarski. Antes disso, Knaster e Tarski conjuntamente estabeleceram este resultado para o caso especial em que L é um reticulado de subconjuntos de um conjunto. Este teorema tem aplicações importantes na área de semântica formal de linguagens de programação e interpretações abstratas. O reverso deste teorema foi demonstrado por Anne C. Davis. Assim sendo, verifica-se também o seguinte: Se toda e qualquer função monótona f : L → L num dado reticulado L tem pontos fixos, então L é um reticulado completo.

Teorema

Seja $\langle L,\leq \rangle$ um reticulado completo $f\colon L\rightarrow L$ uma função monótona. Considerem-se os conjuntos $P$, $Pre$ e $Pos$, dos pontos fixos, prefixos e posfixos de $f$ respetivamente, ou seja definidos por,

• $P=\{x\in L\mid f(x)=x\}$
• $Pre=\{x\in L\mid f(x)\leq x\}$
• $Pos=\{x\in L\mid f(x)\geq x\}$

Então verificam-se os seguintes resultados,

• $\langle P,\leq \rangle$ é um reticulado completo
• $\min \ P=\bigwedge Pre$
• $\max \ P=\bigvee Pos$

Demonstração

Começamos por demonstrar que P tem mínimo e máximo, e que são respetivamente o supremo e ínfimo dos pontos prefixos e posfixos. Como ambos os casos são duais, apresentamos apenas a demonstração do primeiro, ou seja que o máximo de P existe e é o máximo de Pos. Como Pos contém P, basta demonstrar que o supremo de Pos pertence a P para concluir que é o seu máximo.

Lema 1: $Pos\neq \emptyset$

Por definição, $\bot \leq f(x)$ para todo $x\in L$. Daí resulta em particular $\bot \leq f(\bot )$, ou seja $\bot \in Pos$.

Lema 2: $x\in Pos\implies f(x)\in Pos$

Para todo $x\in pos$ tem-se que $x\leq f(x)$, logo $f(x)\leq f(f(x))$ pela monotonicidade de $f(x)$, ou seja $f(x)\in Pos$.

Lema 3: $\bigvee Pos\in Pos$

Seja ${\textstyle u=\bigvee Pos}$. Para todo $x\in Pos$ tem-se $x\leq u$, e também $f(x)\leq f(u)$ pela monotonicidade de $f$, do que resulta $x\leq f(x)\leq f(u)$ para todo o $x\in Pos$. Como $u$ o é menor dos majorantes então $u\leq f(u)$, ou seja $u\in Pos$.

Lema 4: $\bigvee Pos\in Pre$

Seja ${\textstyle u=\bigvee Pos}$. De $u\in Pos$ (lema 3) e $x\in Pos\implies f(x)\in Pos$ (lema 2), resulta que $f(u)\in Pos$. Portanto por definição de $u$ tem-se $f(u)\in u$, ou seja $u\in Pre$.

Conclusão: $\bigvee Pos=\max P$

Dos lemas 3 e 4 resulta que ${\textstyle \bigvee Pos\in (Pos\cap Pre)}$, ou seja ${\textstyle \bigvee Pos\in P}$. Como $P\subseteq Pos$, então o supremo de $Pos$ é também maior que todos os elementos de $P$, e como pertence a $P$ é o seu máximo.

Prosseguimos demonstrando que $P$ é um reticulado completo. Isto é, que todo o $U\subseteq P$ tem um supremo em ${\textstyle \bigvee U\in P}$.

É importante notar que o teorema não especifica que o supremo ${\textstyle \bigvee U}$ em $\langle P,\leq \rangle$ é o mesmo que ${\textstyle \bigvee U}$ em $\langle L,\leq \rangle$. O teorema diz sim que, para todo o subconjunto de pontos fixos $\langle U\rangle$, o conjunto de pontos fixos que o limitam superiormente tem um mínimo. Defina-se conjunto de majorantes de $U$, na forma de intervalo, como $[u,\top ]=\{x:u\leq x\leq \top \}$ onde ${\textstyle u=\bigvee U}$ em $\langle L,\leq \rangle$. Este intervalo é trivialmente um reticulado completo. O objetivo é mostrar que a restrição de $f:L\rightarrow L$ ao reticulado $[u,\top ]$ tem um ponto fixo mínimo em $[u,\top ]$.

Lema 5: $f:L\rightarrow L$ tem um ponto fixo mínimo em $L$

Lema 6: $f([u,\top ])\subseteq [u,\top ]$

Para todo $x\in U\subseteq P$ tem-se $x\leq u$ por definição de $u$, e $x=f(x)\leq f(u)$ pela monotonicidade de $f$ e por $u$ ser ponto fixo. Consequentemente $u\leq f(u)$, pois $u$ é por definição o menor majorante de $U$, ou seja Como $u$ o menor dos majorantes então $f(u)\in [u,\top ]$.

Conclusão: A restrição de $f$ ao reticulado completo $[u,\top ]$ é da forma $f:[u,\top ]\rightarrow [u,\top ]$. Aplicando o lema 5 (ao reticulado completo $[u,\top ]$) conclui-se que $f:[u,\top ]\rightarrow [u,\top ]$ tem um ponto fixo mínimo em $[u,\top ]$. Fica demonstrada a existência de valor mínimo entre os pontos fixos que limitam superiormente $U$, ou seja a existência de ${\textstyle \bigvee U}$ em $\langle P,\leq \rangle$.

Ver também

• Teorema do ponto fixo de Kleene
• Teorema do ponto fixo de Kantorovitch
• μ-calculo modal

Referências

• Andrzej Granas and James Dugundji (2003). Fixed Point Theory. [S.l.]: Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-00173-5 
• Forster, T. Logic, Induction and Sets. [S.l.: s.n.] ISBN 0-521-53361-9 

Leitura relacionada

• S. Hayashi (1985). «Self-similar sets as Tarski's fixed points». Publ. RIMS Kyoto Univ. 21 (5): 1059–1066. doi:10.2977/prims/1195178796 
• J. Jachymski; L. Gajek; K. Pokarowski (2000). «The Tarski-Kantorovitch principle and the theory of iterated function systems». Bull. Austral. Math. Soc. 61 (02): 247–261. doi:10.1017/S0004972700022243 
• E.A. Ok (2004). «Fixed set theory for closed correspondences with applications to self-similarity and games». Nonlinear Anal. 56 (3): 309–330. doi:10.1016/j.na.2003.08.001 
• B.S.W. Schröder (1999). «Algorithms for the fixed point property». Theoret. Comput. Sci. 217 (2): 301–358. doi:10.1016/S0304-3975(98)00273-4 
• S. Heikkilä (1990). «On fixed points through a generalized iteration method with applications to differential and integral equations involving discontinuities». Nonlinear Anal. 14 (5): 413–426. doi:10.1016/0362-546X(90)90082-R 
• R. Uhl (2003). «Smallest and greatest fixed points of quasimonotone increasing mappings». Mathematische Nachrichten. 248–249: 204–210. doi:10.1002/mana.200310016 
• Brunner, Andreas B. M.; Malta, Paulo R. S. (2020). «Teoremas de ponto fixo de Banach e Knaster-Tarski, revistos» (PDF). Revista Matemática Universitária. 2: 1–21. doi:10.21711/26755254/rmu202021 

Ligações externas

• J. B. Nation, Notes on lattice theory.