Usuário(a):Brandnorth/Viés de um estimador

Em estatística, o viés (ou a função de viés) de um estimador é a diferença entre o valor esperado do estimador e o valor real do parâmetro que está sendo estimado. Um estimador com viés igual a zero é chamado de imparcial, não-enviesado, não-tendencioso ou não-viciado. Quando o viés tem valor diferente de zero, o estimadoré chamado de enviesado, viciado ou tendencioso. Em estatística, o viés é uma propriedade objetiva de um estimador, e apesar de não ser uma propriedade desejada, não possui a conotação pejorativa que atribuímos à palavra viés utilizada no português comum.

O viés estatístico também pode ser medido em relação à mediana ao invés da média (valor esperado). Nesse caso, distinguimos a propriedade de imparcialidade em relação à mediana da habitual imparcialidade em relação à média.

De modo geral, um estimador imparcial é preferível a um estimador enviesado. Na prática, no entanto, estimadores enviesados são frequentemente usados, ainda que geralmente possuam um viés pequeno. Quando um estimador tendencioso é utilizado, os limites superior e inferior do viés são normalmente calculados. Um estimador enviesado pode ser utilizado por várias razões: porque um estimador imparcial não existe apenas com as informações disponíveis; porque um estimador imparcial existe, mas é difícil de calcular (como no caso de um estimador imparcial do desvio padrão); porque um estimador é imparcial em relação à mediana, mas não em relação à média, ou vice-versa; porque um estimador enviesado resulta em um valor menor de algumas funções de perda (particularmente o erro quadrático médio) em comparação com estimadores não-enviesados; ou porque, em alguns casos, ser imparcial é uma condição muito estrita, e os únicos estimadores imparciais disponíveis não são úteis. Além disso, imparcialidade em relação à média não é preservada sob transformações não-lineares, apesar de imparcialidade em relação à mediana ser. Por exemplo, a variância amostral é um estimador imparcial para a variância de uma população, mas a sua raiz quadrada, o desvio padrão amostral é um estimador enviesado do desvio padrão de uma população.

Definição

Suponha que temos um modelo estatístico, parametrizado por um número real \theta, que dá origem à uma distribuição de probabilidade${\displaystyle }$ para os dados observados, e uma estatística ${\displaystyle }$ que serve como um estimador de \theta a partir de qualquer dado observado ${\displaystyle }$. Isto é, suponha que nossos dados seguem um distribuição desconhecida  ${\displaystyle }$ condicionada por θ (onde θ é uma constante desconhecida) e, em seguida, construímos um estimador ${\displaystyle }$ cuja função é estimar a constante\theta a partir dos dados observados. O viés de ${\displaystyle }$ em relação à ${\displaystyle }$ é definido como

${\displaystyle }$

onde ${\displaystyle }$ simboliza o valor esperado em relação à distribuição ${\displaystyle }$ - isto é, a calculando a média sobre todas as observações ${\displaystyle }$ possíveis. A segunda equação é válida porque \theta é mensurável com respeito à distribuição condicional ${\displaystyle }$.

Um estimador {\hat {\theta }} é chamado de imparcial em relação a um parâmetro estimado \theta se o viés do estimador em relação ao parâmetro estimado é igual a zero para todos os valores possíveis de \theta.

Exemplos

Sample variance

${\overline {X}}\,={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\qquad S^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\big (}X_{i}-{\overline {X}}\,{\big )}^{2}\qquad$

•