Continuidade uniforme

Gráfico de uma função uniformemente contínua

Continuidade uniforme é um importante conceito matemático com numerosas aplicações sobretudo na análise real e na análise funcional.

Grosseiramente falando, uma função é dita contínua se suficientemente pequenas variações no domínio resultem em pequenas variações na imagem. Uma função é dita uniformemente contínua se "suficientemente pequeno" for independente do ponto inicial. Isto quer dizer que a partir de uma pequena variação da imagem podemos encontrar uma única variação do domínio que sirva para todos os pontos.

O conceito de continuidade uniforme é normalmente definido para funções entre dois espaços métricos, mas este conceito é muitas vezes generalizado para espaços vectoriais topológicos.

A continuidade uniforme é um conceito mais forte que o de continuidade e mais fraco que o de Lipschitz-continuidade (quando este se aplica).

Definição nos Números Reais

No livro An Elementary Course in Analytic Geometry, de 1808, John Henry Tanner e Joseph Allen definem função contínua real com o que, hoje, é a definição de função uniformemente contínua.^{[carece de fontes]} Segundo esta obra, uma função contínua seria uma função $y=\varphi (x)$ que, quando a variável independente $x$ passa por todos os valores reais entre $a$ e $b$, o valor de $\varphi (x)$ nunca se torna infinito e cobre todos valores entre $\varphi (a)$ e $\varphi (b)$. Esta definição é falsa.

Uma forma mais precisa desta definição é dizer que, para uma função real, definida para valores entre $a$ e $b$, dados quaisquer valores $x_{1}$ e $x_{2}$ entre $a$ e $b$, os valores de $\varphi (x_{1})$ e $\varphi (x_{2})$ devem ser finitos e deve ser possível achar para cada valor $\varepsilon$ um valor $\delta$ tal que sempre que $|x_{1}-x_{2}|<\delta$, tem-se que $|\varphi (x_{1})-\varphi (x_{2})|<\varepsilon$. Em outras palavras, sendo $f$ uma função real definida em $X$, diremos que $f$ é uniformemente contínua quando dado $\varepsilon >0$, existe $\delta >0$ tal que

$|x-y|<\delta \Longrightarrow |(f(x)-f(y)|<\varepsilon ,~~\forall x,y\in X\,$

Definição em Espaços Métricos

Para a função $f:X\to Y\,$ definida do espaço métrico $X\,$ para o espaço métrico $Y\,$, $f\,$ é dita uniformemente contínua se dado $\varepsilon >0\,$ existe um $\delta >0\,$ tal que:

$d\left(x,y\right)<\delta \Longrightarrow d\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon ,~~\forall x,y\in X\,$

Ou seja, juntando tudo em uma única sentença matemática:

$\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall x,y\in X,(d\left(x,y\right)<\delta \Longrightarrow d\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon )\,$

A definição mais fraca de uma função contínua em todos os pontos se escreve assim:

$\forall x\in X,\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall y\in X,(d\left(x,y\right)<\delta \Longrightarrow d\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon )\,$

Observa-se que para uma função ser contínua em todos os pontos, basta ser possível escolher um $\delta \,$ para cada $x\,$, enquanto que a continuidade uniforme exige um $\delta \,$ global, para todo $x\,$.

Para dizer que uma função real $f$ não é uniformemente contínua, basta mostrar que se dado $\varepsilon >0$, seja qual for $\delta >0$, podemos encontrar $x$ e $y$ no domínio de $f$ tal que

$|x-y|<\delta$ mas $|(f(x)-f(y)|\geq \varepsilon$.

Propriedades

As propriedades e exemplos são baseados no livro Curso de Análise volume 1, de Elon Lages Lima.

1. Se uma função real $f$ definida em $X$ é lipschitziana, então é uniformemente contínua. Sendo $f$ lipschitziana com constante de lipschitz $C>0$, então para todo $x$ e $y$ em $X$ tem-se $C|x-y|\geq |f(x)-f(y)|$. Dado $\varepsilon >0$, basta tomar $\delta ={\dfrac {\varepsilon }{C}}$ e então $|x-y|<\delta \Longrightarrow |x-y|<{\dfrac {\varepsilon }{C}}\Longrightarrow C|x-y|<\varepsilon \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon .$
2. Seja $f$função real definida em $X$ e uniformemente contínua. Se $(x_{n})$ é uma sequência de Cauchy em $X$, então $(f(x_{n}))$é uma sequência de Cauchy. Como $f$ é uniformemente contínua, dado $\varepsilon >0$, existe $\delta >0$tal que $|x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon .$Sendo $(x_{n})$de Cauchy, dado esse $\delta >0$, existe $n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que para todo $m,n>n_{0}$tem-se $|x_{m}-x_{n}|<\delta .$ Como $(x_{n})\subset X$ segue que para todo $m,n>n_{0}$ temos $|f(x_{m})-f(x_{n})|<\varepsilon .$Logo $(f(x_{n}))$é de Cauchy.
3. Se $X$ é compacto, então toda função contínua definida em $X$ é uniformemente contínua. Suponha por contradição que $f$ é uma função definida em $X$ e não é uniformemente contínua. Então existe $\varepsilon >0$, tal que para cada $n\in \mathbb {N}$, podemos encontrar $x_{n}\in X$ e $y_{n}\in X$ tais que $|x_{n}-y_{n}|<{\dfrac {1}{n}}$ mas $|f(x_{n})-f(y_{n})|\geq \varepsilon .$Como $X$ é compacto, uma subsequência $(x_{n_{k}})$converge para $a\in X.$ Assim temos $\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n_{k}}=a.$ Como $f$ é contínua, segue que $\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n_{k}})=\lim _{n\rightarrow \infty }f(y_{n_{k}})=f(a),$ o que contradiz $|f(x_{n_{k}})-f(y_{n_{k}})|\geq \varepsilon .$ Logo $f$ é uniformemente contínua.

Exemplos

1. A função $f(x)={\dfrac {1}{x}}$não é uniformemente contínua. Dado $\varepsilon >0$, seja $\delta >0$ escolhido. Tome um número positivo $y$ tal que $y<\delta$ e $y<{\dfrac {1}{3\varepsilon }}$. Então para $x=y+{\dfrac {\delta }{2}}$ temos $|x-y|<\delta$, mas $\left|{\dfrac {1}{x}}-{\dfrac {1}{y}}\right|=\left|{\dfrac {1}{y+{\dfrac {\delta }{2}}}}-{\dfrac {1}{y}}\right|=\left|{\dfrac {2}{2y+\delta }}-{\dfrac {1}{y}}\right|={\dfrac {\delta }{(2y+\delta )y}}>{\dfrac {\delta }{3\delta \cdot y}}={\dfrac {1}{3y}}>\varepsilon$.
2. A função $f(x)=ax+b$, com $a\neq 0$, é uniformemente contínua. Dado $\varepsilon >0$, escolha $\delta ={\dfrac {\varepsilon }{|a|}}$. Então qualquer que seja $y\in \mathbb {R}$temos, $|x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|=|(ax+b)-(ay+b)|=|ax-ay|=|a||x-y|<|a|\delta =\varepsilon$.
3. A função $f(x)=x^{2}$é uniformemente contínua se $x$ for limitado. De fato, se $|x|\leq k$ para todo $x\in X$, dados quaisquer $x,y\in X$ temos $|f(x)-f(y)|=|x^{2}-y^{2}|=|x+y|\cdot |x-y|\leq (|x|+|y|)\cdot |x-y|\leq 2k|x-y|.$ Logo f é lipschitziana e pela propriedade 1 é uniformemente contínua.
4. A função $f(x)=x^{3}$ não é uniformemente contínua. De fato, sendo $x_{n}={\dfrac {n+1}{n}}$ e $y_{n}=n$ temos $\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}-y_{n})=0$, mas $x_{n}^{3}-y_{n}^{3}\geq 3.$
5. A função $f(x)={\sqrt {x}}$ definida em $[0,1]$é contínua. Como $[0,1]$ é compacto, pela propriedade 3, $f$ é uniformemente contínua.