Álgebra de grupo

Em matemática, a álgebra de grupo é qualquer uma das várias construções que associam a um grupo localmente compacto uma álgebra de operadores (ou mais geralmente uma álgebra de Banach), de modo que as representações da álgebra estejam relacionadas às representações do grupo. Como tal, elas são similares ao anel de grupo associado a um grupo discreto.

Álgebras de grupo como grupos topológicos: C_c(G)

Para os objetivos da análise funcional, e em particular da análise harmônica, deseja-se realizar a construção de anel de grupo para grupos topológicos G. No caso de G ser um grupo Hausdorff localmente compacto, G tem uma Medida de Borel invariante à esquerda contável e aditiva μ essencialmente única μ, chamada de medida de Haar. Usando a medida de Haar, pode-se definir uma operação de convolução no espaço C_c(G) das funções contínuas sobre G a valores complexos com suporte compacto; C_c(G) pode então ser dado uma de várias normas e o seu completamento será uma álgebra de grupo.

Para definir a operação de convolução, sejam f e g duas funções em C_c(G). Para  t em G, defina $$[f*g](t)=\int _{G}f(s)g\left(s^{-1}t\right)\,d\mu (s).$$ O fato de que f * g é contínua é uma consequência imediata do teorema da convergência dominada. Além disso, $$\operatorname {Support} (f*g)\subseteq \operatorname {Support} (f)\cdot \operatorname {Support} (g)$$ em que o ponto representa o produto em G. C_c(G) também tem uma involução natural definida por: $$f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}\Delta (s^{-1})$$ em que Δ é a função modular em G. Com esta involução, ela é uma *-álgebra.

Teorema. Com a norma:

$$\|f\|_{1}:=\int _{G}|f(s)|d\mu (s),$$

C_c(G) torna-se uma an álgebra normada involutiva com uma identidade aproximada.

A identidade aproximada pode ser indexada em uma base de vizinhança da identidade consistindo de conjuntos compactos. De fato, se V é uma vizinhança compacta da identidade, seja f_V uma função contínua não negativa com suporte em V tal que $$\int _{V}f_{V}(g)\,d\mu (g)=1.$$ Então {f_V}_V é uma identidade aproximada. Uma álgebra de grupo tem uma identidade, em vez de apenas uma identidade aproximada, s e somente se a topologia do grupo é a topologia discreta.

Note que para grupos discretos, C_c(G) é a mesma coisa que o anel de grupo complexo C[G].

A importância da álgebra de grupo é que ela captura a teoria das  representações unitárias de G como mostra o seguinte

Teorema. Seja G um grupo localmente compacto. Se U é uma representação unitária fortemente contínua de G sobre um espaço de Hilbert H, então

$$\pi _{U}(f)=\int _{G}f(g)U(g)\,d\mu (g)$$

é uma *-representação não degenerada limitada da álgebra normada C_c(G). A aplicação $$U\mapsto \pi _{U}$$

é uma bijeção entre o conjunto  das representações unitárias fortemente contínuas de G e as *-representações  não degeneradas limitadas de C_c(G). Esta bijeção respeita equivalência unitária e contenção forte. Em particular, π_U é irredutível se e somente se U é irredutível.

Uma representação π de C_c(G) sobre um espaço de Hilbert H_π é não degenerada se $$\left\{\pi (f)\xi :f\in \operatorname {C} _{c}(G),\xi \in H_{\pi }\right\}$$ é denso em H_π.

Ver também

• Álgebra de grafo
• Álgebra de incidência
• Álgebra de caminhos
• Álgebra de grupoide

Referências

• J, Dixmier, C* algebras, ISBN 0-7204-0762-1
• A. A. Kirillov, Elements of the theory of representations, ISBN 0-387-07476-7
• L. H. Loomis, "Abstract Harmonic Analysis", ASIN B0007FUU30
• A.I. Shtern (2001), "Group algebra of a locally compact group", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4