Anel noetheriano

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Em álgebra abstracta, um anel noetheriano é um anel comutativo que satisfaz a condição da cadeia ascendente para ideais. O termo noetheriano é uma homenagem à matemática alemã Emmy Noether.

Anéis de polinômios sobre corpos possuem muitas propriedades especiais; propriedades que derivam do fato de que anéis polinomiais não são em certo sentido "grandes demais". Emmy Noether descobriu que uma propriedade fundamental dos anéis de polinômios é a propriedade da cadeia ascendente para ideais.

Para anéis não-comutativos, devemos fazer algumas distinções entre conceitos similares:

  • Um anel é dito noetheriano à esquerda caso satisfaça a condição da cadeia ascendente para ideais à esquerda.
  • Um anel é dito noetheriano à direita caso satisfaça a condição da cadeia ascendente para ideais à direita.
  • Um anel é dito noetheriano caso seja noetheriano tanto à esquerda quanto à direita.

Para anéis comutativos as três definições coincidem.

Caracterização dos anéis noetherianos[editar | editar código-fonte]

Existem outras definições equivalentes para anel noetheriano:

  • Todo ideal é finitamente gerado, isto é, existem em tais que todo elemento de pode ser escrito na forma onde [1]
  • Todo subconjunto não-vazio de ideais de possui ideal maximal com respeito à inclusão.[1]

Resultados similares existem para anéis noetherianos à esquerda e à direita.

É sabido que para um anel comutativo se todo ideal primo for finitamente gerado, então é noetheriano.

Utilização dos anéis noetherianos[editar | editar código-fonte]

A propriedade noetheriana é central na teoria dos anéis e em áreas que utilizam de forma intensiva o conceito de anéis, como a geometria algébrica e a teoria de singularidades. A razão para isto é que a propriedade noetheriana é uma espécide de conceito de finitude na teoria dos anéis. Por exemplo, a propriedade noetheriana de que todo anel de polinômios com coeficientes em um dado corpo é noetheriano permite-nos provar que um sistema infinito de equações polinomiais pode ser substituído por um sistema finito de equações polinomiais com as mesmas soluções.

Como outra aplicação, mencionamos o teorema do ideal principal de Krull: todo ideal principal em um anel comutativo noetheriano tem altura um. Este foi o primeiro resultado a sugerir que os anéis noetherianos constituem uma profunda teoria da dimensão.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O anel dos inteiros
  • Qualquer corpo, pois um corpo possui apenas os ideais triviais.
  • onde é um corpo.

Temos também os seguintes exemplos de anéis que não são noetherianos:

  • O anel dos polinômios em infintas variáveis, A sequência de ideais é ascendente, e não é estacionária.
  • O anel das funções contínuas de Definindo para cada inteiro positivo temos que a cadeia de ideais não é estacionária.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Pelo teorema da base de Hilbert, é noetheriano.
  • Dado um ideal num anel comutativo temos que é noetheriano.
  • Toda álgebra comutativa finitamente gerada sobre um corpo é um noetheriana.
  • Todo anel artiniano à esquerda, (resp. à direita), é um anel noetheriano à esquerda, (resp. à esquerda), pelo teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki.
  • Um anel é noetheriano à esquerda se, e somente se, todo -módulo é um módulo noetheriano.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. a b Lam, 2001, p. 19
  • Lang, Serge (1994). Algebra 3 ed. Addison-Wesley Pub. Co. [S.l.] ISBN 9780201555400. 
  • Lam, T.Y. (2001). A first course in noncommutative rings 2 ed. (New York: Springer). p. 19. ISBN 0387951830.