Emmy Noether

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Emmy Noether
Emmy Noether, ca. 1905
Conhecido(a) por Teorema de Noether
Nascimento 23 de março de 1882
Erlangen, Reino da Baviera, Alemanha
Morte 14 de abril de 1935 (53 anos)
Bryn Mawr, Pennsylvania, Estados Unidos
Nacionalidade Alemã
Alma mater Universidade de Erlangen-Nuremberga
Prêmios Prêmio Memorial Ackermann-Teubner (1932)
Orientador(es) Paul Gordan[1]
Orientado(s) Max Deuring, Hans Fitting, Heinrich Grell, Grete Hermann, Zeng Jiongzhi, Jacob Levitzki, Hans Reichenbach, Otto Schilling, Ernst Witt
Instituições Universidade de Göttingen, Bryn Mawr College
Campo(s) Matemática
Tese 1907: Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form

Amalie Emmy Noether (pronunciado em alemão [ˈnøːtɐ], (Erlangen, Baviera, Alemanha, 23 de março de 1882Bryn Mawr, Pensilvânia, Estados Unidos, 14 de abril de 1935) foi uma matemática alemã, conhecida pelas suas contribuições de fundamental importância aos campos de física teórica e álgebra abstrata. Considerada por David Hilbert, Albert Einstein, Hermann Weyl e outros como a mulher mais importante na história da matemática,[2][3][4] ela revolucionou as teorias sobre anéis, corpos e álgebra. Em física, o teorema de Noether explica a conexão fundamental entre a simetria na física e as leis de conservação.[5][6]

Vida pessoal[editar | editar código-fonte]

Emmy cresceu em Erlangen, aqui em um cartão postal de 1916

Emmy nasceu em uma família judia na cidade bávara de Erlangen, na região da Francônia, em 23 de março de 1882, a primeira de quatro filhos[7]. Seu pai era o matemático Max Noether, descendente de uma família de mercadores de lã. Aos 14 anos, ele ficou paralisado devido à polio. Ele voltou a ganhar mobilidade, ficando deficiência em uma perna. Autodidata, ele recebeu um doutorado pela Universidade de Heidelberg, em 1868. Depois de lecionar por sete anos, ele foi para Erlangen, onde conheceu e se casou com Ida Amalia Kaufmann, filha de um grande comerciante[8].

O primeiro nome de Emmy era "Amalie", em homenagem à mãe e à avó paterna, mas adotou Emmy ainda muito nova. Era uma criança muito querida, muito inteligente e esperta. Como muitas meninas da época, Emmy aprendeu a cuidar da casa, cozinhar e limpar, além de ter aulas de piano, mesmo não se interessando por isso[9].

Emmy tinha três irmãos. O segundo, Alfred, nasceu em 1883, tendo doutorado em química em 1909 e faleceu nove anos depois. Fritz Noether, nascido em 1884, é lembrado por diversos feitos acadêmicos, tendo estudado em Munique e feito carreira na área de matemática aplicada. O mais novo, Gustav Robert, nascceu em 1889 e pouco se sabe sobre ele, que sofria de uma doença crônica e veio a falecer em 1928[8].

Emmy Noether e seus irmãos Alfred, Fritz, e Robert, antes de 1918

Carreira[editar | editar código-fonte]

Emmy continuou sendo um dos membros mais importantes do departamento de matemática de Göttingen até 1933; seus alunos por vezes eram chamados de "os meninos de Noether". Em 1924 o matemático holandês B. L. van der Waerden uniu-se a seu círculo matemático e logo começou a ser o principal expositor das idéias de Noether: o trabalho dela foi a base do segundo volume de seu influente livro didático, publicado em 1931, Moderne Algebra. Quando discursou na sessão plenária de 1932 do Congresso Internacional de Matemáticos em Zürich, suas obras algébricas já eram conhecidas mundialmente. Nos anos seguintes, o governo nazista da Alemanha expulsou os judeus que ocupavam postos em universidades, e Noether teve que emigrar aos Estados Unidos, onde trabalhou no Bryn Mawr College, na Pensilvânia.

O trabalho de Noether em matemática se divide em três épocas:[10]Na primeira (1908–1919), efetuou contribuições significativas à teoria dos invariantes e dos corpos numéricos. Seu trabalho sobre os invariantes diferenciais em cálculo das variações, chamado teorema de Noether foi chamado de "um dos teoremas matemáticos mais importantes já provados dentre os que guiaram o desenvolvimento da física moderna".[11] Na segunda época, (1920–1926), iniciou trabalhos que "mudaram a face da álgebra abstrata".[12]

Em seu clássico artigo Idealtheorie in Ringbereichen (Teoria de ideais nos domínios dos anéis, 1921) Noether transformou a teoria dos ideais em anéis comutativos em uma poderosa ferramenta matemática com diversas aplicações. Utilizou de forma elegante a condição da cadeia ascendente, e os objetos que a satisfazem são hoje denominado noetherianos em homenagem a ela. Na terceira época, (1927–1935), publicou seus principais trabalhos sobre álgebras não comutativas e números hipercomplexos e realizou a união entre a teoria das representações dos grupos com a teoria dos módulos e ideais. Além de suas próprias publicações, Noether foi generosa em relação a suas idéias e permitiu que várias de suas ideias e linhas de investigação fossem publicadas por outros matemáticos, isto afetou inclusive campos bastante distantes de seu trabalho principal, como a topologia algébrica[10].

Magistério[editar | editar código-fonte]

Universidade de Erlangen[editar | editar código-fonte]

Paul Gordan, orientador de doutorado de Emmy Noether.

Emmy era fluente em francês e em inglês. Na primavera de 1900, ela prestou exames para magistério nestes idiomas e recebeu nota geral sehr gut (muito bom). Sua nota a qualificou para lecionar os idiomas em escolas para meninas, mas Emmy preferiu continuar seus estudos na Universidade de Erlangen[8].

Foi uma decisão pouco convencional para a época. Dois anos depois, a reitoria da universidade declarou que seria permitido educação mista em suas dependências. Sendo uma das duas únicas mulheres no campus com 986 alunos, Emmy não tinha autorização de participar de todas as aulas, tendo que pedir permissão individual para cada professor das disciplinas que pretendia estudar. Apesar dos obstáculos, em 14 de julho de 1903, ela se graduou[8][13].

No inverno de 1903-1904, ela estudou na Universidade de Göttingen, tendo aulas com o astrônomo Karl Schwarzschild e com os matemáticos Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein e David Hilbert. Pouco depois, as restrições às mulheres nas universidades foram suspensas[8].

Emmy retornou a Erlangen, sendo oficialmente recolocada em 24 de outubro de 1904, onde decidiu focar-se apenas em matemática. Sob a supervisão de Paul Gordan, escreveu a tese Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (Em Sistemas Completos de Invariantes para Formas Biquadráticas Ternárias, 1907). Apesar de ser bem recebida, Emmy classificou sua tese como "uma droga"[8][14].

Pelos próximos sete anos (1908–15), ela lecionaria na Universidade de Erlangen, sem vencimentos, ocasionalmente substituindo seu pai quando ele ficava muito doente para lecionar. Em 1910 e 1911, publicou uma extensão de sua tese sobre variáveis n. Paul Gordan viria a se aposentar na primavera de 1910, mas lecionou, ocasionalmente, com seu sucessor, Erhard Schmidt, que logo deixou a universidade por um emprego em Breslau. Paul viria a falecer em dezembro de 1912, tendo deixado Ernst Fischer como seu sucessor[14].

Segundo Hermann Weyl, Fischer foi uma importante influência para Emmy, em particular por ter introduzido a ela o trabalho de David Hilbert. DE 1913 a 1916, Emmy publicou diversos trabalhos sobre a aplicação dos métodos de Hilbert em várias áreas da matemática, como funções e invariantes de grupos infinitos, marcando o início de seu trabalho com álgebra abstrata, campo no qual ela faria grandes e importantes contribuições.

Universidade de Göttingen[editar | editar código-fonte]

Na primavera de 1915, Emmy foi convidada a retornar a Göttingen por David Hilbert e Felix Klein. Seus esforços para contratá-la fora combatidos pelos membros das faculdades de história e filosofia. Eles insistiam que mulheres não podiam se tornar privatdozent. Um membro disse que era inaceitável que os soldados voltassem para a universidade e encontrassem uma mulher dando aulas[8]. David Hilbert respondeu:

Em 1915, David Hilbert convidou Emmy Noether para o departamento de matemática de Göttingen, desafiando a visão que muitos colegas tinham sobre uma mulher nas dependências da universidade.

Emmy deixou Erlanden no final de abril. Duas semanas depois, sua mãe morreu, subitamente. Ela chegou a receber tratamento médico devido à um problema no olho, mas não se sabe a causa da morte. Por volta da mesma época, seu pai se aposentou e seu irmão alistou no Exército Alemão, para servir na Primeira Guerra Mundial. Ela voltou a Erlangen várias semanas depois para cuidar do pai[14].

Em seus primeiros anos em Göttingen, ela não tinha uma posição oficial, tampouco tinha salário. Sua família pagava por sua acomodação e por seu material acadêmico. Suas aulas eram, normalmente, anunciadas sob o nome de David Hilbert, onde ela ofereceria apenas assistência. Mas logo após sua chegada à universidade, Emmy demonstrou sua capacidade de provar o teorema hoje conhecido como Teorema de Noether, que mostra que a lei de conservação de energia está associada com a [[1]] de um sistema físico[14][13].

Os físicos americanos Leon M. Lederman e Christopher T. Hill argumentaram em seu livro Symmetry and the Beautiful Universe que o Teorema de Noether era "certamente um dos mais importantes teoremas matemáticas já provados no desenvolvimento da física moderna, possivelmente lado a lado com o Teorema de Pitágoras"[13].

Com o fim da Primeira Guerra Mundial, a Revolução Alemã trouxe uma mudança social significativa, incluindo mais direitos para as mulheres. Em 1919, a universidade permitiu o ingresso de Noether, concedendo-lhe uma habilitação de magistério em junho do mesmo ano. Três anos depois, Emmy recebeu uma carta do ministro da ciência, arte e educação da Prússia, na qual ele conferia a ela o título de nicht beamteter ausserordentlicher Professor, um professor associado, não-titular, com direitos e funções administrativas limitadas. Apesar de não ser um grande reconhecimento público por seu trabalho, ele ainda não era remunerado. Emmy não recebeu por seu trabalho até ser apontada, um ano depois, como docente de álgebra[8][13][14].

A expulsão de Göttingen[editar | editar código-fonte]

Quando Adolf Hitler se tornou chanceler alemão, em janeiro de 1933, a atividade nazista no país aumentou dramaticamente. Na universidade, a Associação de Estudantes Alemães lançou ataques contra judeus e seus apoiadores por "não terem espírito alemão", liderados por um privatdozent chamado Werner Weber, ex-aluno de Emmy. Atitudes anti-semitas criaram um clima hostil para os professores judeus. Um manifestante chegou a dizer: estudantes arianos querem professores arianos, não judeus[8].

Uma das primeiras ações da administração de Hitler foi a Lei para a Restauração da Função Pública Profissional, que removeu funcionários judeus e funcionários suspeitos, incluindo professores universitários, de seus cargos, a menos que demonstrassem "sua total lealdade à Alemanha", servindo na Primeira Guerra Mundial. Em abril de 1933, Emmy recebeu um aviso do gabinete do ministro prussiano que dizia: Segundo o parágrafo 3, do Código de Serviço Civil de 7 de abril de 1933, eu retiro seu direito de lecionar na Universidade de Göttingen[8][13].

Vários colegas de Emmy, como Max Born e Richard Courant, também tiveram seus cargos revogados. Emmy aceitou a demissão calmamente, oferecendo suporte a outros colegas em situação semelhante. Mesmo sem poder dar aulas, ela reunia estudantes em seu apartamento para discutir teorias clássica. Mesmo quando um estudante seu aparecia paramentado com a farda da organização nazista Sturmabteilung, Emmy não se abalava. Isso porém foi antes dos eventos sangrentos da Noite dos Cristais, em 1935[8][13].

Bryn Mawr[editar | editar código-fonte]

Bryn Mawr College recebeu Emmy Noether nos dois últimos anos de sua vida.

Muitos professores desempregados na Europa receberam oportunidades de emprego de colegas nos Estados Unidos. Albert Einstein e Hermann Weyl foram indicados para Princeton. Outros ainda buscavam patrocinadores para lhes ajudar na imigração. Emmy foi contratada por representantes de duas instituições: o Bryn Mawr College, nos Estados Unidos e o Somerville College da Universidade Oxford, na Inglaterra. Após uma série de negociações com a Fundação Rockefeller, Bryn Mawr aprovou a vinda de Emmy e ela iniciou seus trabalhos em 1933[8][13].

No Bryn Mawr, Ammy conheceu Anna Wheeler, que tinha estudado em Göttingen pouco antes da chegada de Emmy e as duas se tornaram grandes amigas. Outro apoiador de Emmy foi a presidente da faculdade, Marion Edwards Park, que convidou vários matemáticos para assistirem "Emmy Noether em ação"[8].

Em 1934, Emmy começou a lecionar no Instituto de Estudos Avançados, em Princeton, por convite de Abraham Flexner e Oswald Veblen. Trabalhou e foi orientadora de Abraham Albert e Harry Vandiver. No entanto, a maior lembrança de Emmy em Princeton é de ser uma universidade de homens, onde as mulheres não era bem-vindas[13].

Os anos nos Estados Unidos foram agradáveis. Emmy estava cercada de colegas e apoiadores, inserida em seus temas favoritos[8].

Morte[editar | editar código-fonte]

Os restos mortais de Emmy Noether foram enterrados no gramado do Bryn Mawr College.

Em abril de 1935, os médicos descobriram um tumor no quadril de Emmy. Preocupados com as complicações cirúrgicas, eles a deixaram de repouso absoluto por dois dais. Durante a cirurgia, descobriram um cisto no ovário "do tamanho de um melão"[8]. Dois tumores menores, aparentemente benignos, foram encontrados no útero, mas não foram removidos, para não prolongar o procedimento.

Por três dias, ela se recuperou normalmente, tendo uma pequena hemorragia no quarto dia. Em 14 de abril ela desmaiou, com uma temperatura de 42°C e veio a falecer. Os médicos acreditam que ela tenha desenvolvido uma infecção generalizada, que tenha atingido o cérebro. Seu corpo foi cremado e as cinzas enterradas no gramado do Bryn Mawr College[8].

Contribuições em Matemática e Física[editar | editar código-fonte]

O trabalho de Noether em álgebra e topologia foi essencial em matemática, enquanto o Teorema de Noether possui consequencias de grande alcance em Física Teórica e Sistemas Dinâmicos. Ela mostrou propensão aguda para raciocínio abstrato, o que permitiu que ela abordasse problemas em matemática de forma inovadora e única.[15][16] Seu amigo e colega Hermann Weyl descreveu sua produção acadêmica como separada em três épocas:

A produção científica de Emmy Noether se separa em três claras épocas distintas:

(1) o período de dependência relativa, 1907–1919;
(2) a investigação agrupada em torno da teoria geral de ideais, 1920–1926;

(3) o estudo de álgebras não-comutativas, suas representações por transformações lineares, e sua aplicação ao estudo de corpos númericos comutativos e suas aritméticas.

Durante a primeira época (1907–19), Noether lidou primariamente com invariantes algébricos e diferenciais, começando com sua dissertação sob Paul Gordan. Seus horizontes matemáticos se expandiram, e seu trabalho se tornou mais geral e abstrato, conforme ela se familiarizava com o trabalho de David Hilbert, através de interação próxima com o sucessor de Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Após se mudar para Göttingen em 1915, ela produziu seu trabalho seminal em Física, o Teorema de Noether.

Durante a segunda época (1920–26), Noether se devotou a desenvolver a teoria de aneis.

Durante a terceira época (1927–35), Noether se focou em álgebras não-comutativas, transformações lineares e corpos numéricos comutativos.[17]

Contexto histórico[editar | editar código-fonte]

Entre 1832 até a morte de Noether em 1935, o campo da Matemática - especificamente álgebra - sofreu uma profunda revolução cujas reverberações são sentidas até hoje. Matemáticos de séculos anteriores haviam trabalhado em métodos práticos para a solução de tipos específicos de equações, como por exemplo, equações cúbicas, quárticas, e quínticas, assim como o problema relacionado de construir polígonos regulares usando régua e compasso. Iniciando com a prova de Carl Friedrich Gauss em 1832 de que inteiros primos como 5 podem ser fatorados nos inteiros gaussianos, a introdução por Évariste Galois dos grupos de permutação em 1832 (apesar do fato de que, devido a sua morte, seus trabalhos foram publicados apenas em 1846 por Liouville), a descoberta por William Rowan Hamilton dos quaternions em 1843, e a definição mais moderna de grupos por Arthur Cayley em 1854, a pesquisa matemática se voltou para a determinação de propriedades de sistemas cada vez mais abstratos, definidos por regras cada vez mais gerais. As contribuições mais importantes de Noether para a matemática foram o desenvolvimento deste novo campo, a álgebra abstrata.[18]

Álgebra abstrata e matemática conceitual[editar | editar código-fonte]

Dois dos objetos mais básicos em Álgebra são grupos e aneis.

Um grupo consiste em um conjunto de elementos e uma operação que combina um primeiro e um segundo elementos do conjunto e retorna um terceiro. Essa operação deve satisfazer certas restrições para determinar um grupo: Deve ser fechada, associativa, possuir uma identidade, e para cada elemento deve existir um elemento inverso.

Similarmente, um anel possui um conjunto de elementos, mas agora duas operações. A primeira operação deve tornar o conjunto em um grupo e é comutativa, e a segunda operação é fechada, associativa e distributiva com relação a primeira operação.

Grupos são frequentemente estudados através de representações de grupos. Em sua forma mais geral, isso consiste em uma escolha de grupo, um conjunto, e uma ação do grupo no conjunto, isto é, uma operação que toma um elemento do grupo e um elemento do conjunto e retorna um elemento do conjunto.

Uma forma poderosa de estudar aneis é através de seus módulos. Um módulo consiste em uma escolha de anel, um outro conjunto subjacente, uma operação em pares de elementos do módulo, e uma operação que leva um elemento do anel e um elemento do módulo e retorna um elemento do módulo. O conjunto subjacente e sua operação devem formar um grupo satisfazendo comutatividade. Um módulo é uma versão em teoria dos aneis de uma representação de grupo. Um caso especial importante disso é uma álgebra. Uma álgebra consiste em uma escolha de dois aneis e uma operação que toma um elemento de cada anel e retorna um elemento do segundo anel. Essa operação torna o segundo anel em um módulo sobre o primeiro.

Palavras como "elemento" e "operação" são bastente genéricas, e podem ser aplicadas a muitas situações reais e abstratas. Qualquer conjunto de objetos que obedeça todas as regras para uma (ou duas) operação (ou operações) é, por definição, um grupo (ou anel), e obedece a todos os teoremas sobre grupos (ou aneis). Inteiros e as operações de adição e multiplicação são simplesmente um exemplo. Teoremas de álgebra abstrata são poderosos pois são gerais; eles governam muitos sistemas. Poderia se imaginar que pouco pode ser concluído sobre objetos definidos com tão poucas propriedades, mas é exatamente aqui onde se destacavam os talentos de Noether: descobrir o máximo que poderia ser concluído de um dado conjunto de propriedades, ou reciprocamente, identificar o conjunto mínimo, as propriedades essenciais, responsáveis por uma observação em particular. Diferentemente da maioria dos matemáticos, ela não fazia abstrações generalizando exemplos conhecidos; ao invés disso, ela trabalhava diretamente com as abstrações. Como van der Waerden lembrou em seu obituário sobre ela,[19]

A máxima pela qual Emmy Noether se guiou ao longo de seu trabalho pode ser formulado da seguinte forma: "Relações entre números, funções, e operações se tornam transparentes, aplicáveis em geral, e atingem sua produtividade máxima apenas após elas terem sido isoladas de seus objetos particulares, e terem sido formuladas como conceitos universalmente válidos."

Essa era a matemática puramente conceitual que era característica de Noether. Esse estilo de matemática foi consequentemente adotado por outros matemáticos, especialmente no (então novo) campo da álgebra abstrata.

Inteiros como um examplo de anel[editar | editar código-fonte]

Os inteiros formam um anel comutativo cujos elementos são os inteiros, e as operações são adição e multiplicação. Qualquer par de inteiros pode ser somada ou multiplicada, sempre resultando em outro inteiro, e a primeira operação é comutativa. A segunda operação também é comutativa, mas isso não precisa ser verdadeiro em aneis. Exemplos de aneis não-comutativos incluem matrizes e quaternions. Os inteiros não formam um anel de divisão, pois a segunda operação não pode ser sempre invertida.

Os inteiros possuem propriedades adicionais que não se generalizam para todos os aneis comutativos. Um exemplo importante é o Teorema Fundamental da Aritmética, que diz que todo inteiro positivo pode ser fatorado unicamente em inteiros primos. Fatoração única não existe sempre em outros aneis, mas Noether achou um teorema de fatoração única, hoje chamado de Teorema de Lasker–Noether, para os ideais de muitos aneis. Muito do trabalho de Noether se coloca em determinar que propriedades valem para todos os aneis, na concepção de resultados novos análogos a teoremas antigos sobre inteiros, e na determinação de conjuntos mínimos de suposições necessárias para obter certas propriedades de aneis.

Legado[editar | editar código-fonte]

Entre 1832 e 1935, ano da morte de Emmy, a matemática, especialmente o campo da álgebra, passou por uma profunda revolução, cujas consequências ainda são sentidas. Matemáticos de séculos anteriores trabalharam em métodos práticos para resolver tipos específicos de equações, como função cúbica. A maior e mais importante contribuição de Emmy Noether para a matemática foi o desenvolvimento de uma nova área, a álgebra abstrata[18].

Referências

  1. Emmy Noether (em inglês) no Mathematics Genealogy Project
  2. Einstein, Albert (1 de maio de 1935), «Professor Einstein Writes in Appreciation of a Fellow-Mathematician» (publicado em 5 de maio de 1935), New York Times, consultado em 13 de abril de 2008 . Online at the MacTutor History of Mathematics archive.
  3. Osen, Lynn M. (1974), "Emmy (Amalie) Noether", Women in Mathematics, MIT Press, pp. 141–52, ISBN 0-262-15014-X.
  4. Alexandrov, Pavel S. (1981), "In Memory of Emmy Noether", in Brewer, James W; Smith, Martha K, Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York: Marcel Dekker, pp. 99–111, ISBN 0-8247-1550-0.
  5. Ne'eman, Yuval. "The Impact of Emmy Noether's Theorems on XX1st Century Physics", Teicher 1999, p. 83–101.
  6. Conheça mulheres que se tornaram grandes cientistas - Emmy Noether (1882-1936) Portal BOL - acessado em 8 de março de 2015
  7. Chang, Sooyoung (2011). Academic Genealogy of Mathematicians illustrated ed. [S.l.]: World Scientific. p. 21. ISBN 978-981-4282-29-1  Extract of page 21
  8. a b c d e f g h i j k l m n o p q Clark Kimberling (ed.). «Emmy Noether, Mentors & Colleagues». Evansville. Consultado em 22 de fevereiro de 2007 
  9. Osen, Lynn M. (1974), «Emmy (Amalie) Noether», Women in Mathematics, ISBN 0-262-15014-X, MIT Press, pp. 141–52 
  10. a b Weyl, Hermann. David Hilbert and his mathematical work. 50 (9): 612–654. doi:10.1090/S0002-9904-1944-08178-0 
  11. Lederman, Leon M.; Hill, Christopher T (2004), Symmetry and the Beautiful Universe, Amherst: Prometheus Books, ISBN 1-59102-242-8.
  12. Dick, Auguste (1981), Emmy Noether: 1882–1935, Boston: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3019-8. Trans. H. I. Blocher.
  13. a b c d e f g h Lederman, Leon M.; Hill, Christopher T (2004), Symmetry and the Beautiful Universe, ISBN 1-59102-242-8, Amherst: Prometheus Books 
  14. a b c d e van der Waerden, B.L. (1935), «Nachruf auf Emmy Noether» [obituary of Emmy Noether], Mathematische Annalen (em German), 111: 469–74, doi:10.1007/BF01472233 
  15. Osen 1974, pp. 148–49.
  16. Kimberling 1981, pp. 11–12.
  17. Kimberling 1981, pp. 10–23.
  18. a b G.E. Noether 1987, p. 168.
  19. Dick 1981, p. 101.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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Ligações externas[editar | editar código-fonte]