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Espaço conexo

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De cima para baixo: os espaços vermelho A, magenta B, amarelo C e laranja D são todos conexos, enquanto o espaço verde E (composto pelos subconjuntos E1, E2, E3 e E4) é desconexo. Para além disso, A e B são também simplesmente conexos (género 0), enquanto C e D não o são: C tem género 1 e D tem género 4.

Em topologia, conexidade (português brasileiro) ou conectividade (português europeu) é a propriedade de um espaço conexo, isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.[1]

Uma cisão de um conjunto é a decomposição em dois abertos disjuntos. Todo conjunto admite a cisão trivial em que e . Um conjunto chama-se conexo quando admite apenas a cisão trivial.[1]

Equivalências

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Os subconjuntos e são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de . Assim, equivalentemente, se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então é conexo. Por outro lado, se existe não-vazio aberto e fechado em , então é desconexo.[2]

  • e são conexos, enquanto e são desconexos.
  • Em , os únicos subconjuntos conexos são os intervalos.[3]
  • é desconexo pois possui a cisão não-trivial .[1]

Componentes conexas

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Mesmo que um conjunto não seja conexo, ele sempre poderá ser representado pela união disjunta de suas componentes conexas.[7]

A componente conexa é o maior subconjunto conexo que contém .[7] Para quaisquer dois pontos de , suas componentes conexas ou coincidem ou são disjuntas. Se possuem um ponto em comum, são a mesma componente conexa, pois a componente conexa é o maior subconjunto conexo contendo um dado ponto; se não possuem, são disjuntas.[7]

Por exemplo, para , a componente conexa de é e a componente conexa de é . No caso, essas são as duas componentes conexas do conjunto.[7]

Toda componente conexa de é um conjunto fechado em .[7]

Homeomorfismos estabelecem, entre os dois espaços, uma bijeção entre as componentes conexas de um com as componentes conexas do outro.[7] Sendo assim, dois conjuntos homeomorfos possuem a mesma quantidade de componentes conexas.[7]

Conexo por caminhos

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Um espaço conexo por caminhos
Um espaço conexo que não é conexo por caminhos.

Um tipo de conexidade mais estrita é a conexidade por caminhos.[8]

Um caminho num conjunto é uma função contínua definida num intervalo real que passa por pontos de . Dois pontos podem ser ligados por um caminho quando existe um caminho tal que esses pontos estejam na imagem de .[9] Um conjunto se diz conexo por caminhos quando quaisquer dois pontos podem ser ligados por um caminho.[9]

Todo conjunto conexo por caminhos é conexo, mas a recíproca é falsa.[10] Por exemplo, no o gráfico da função para com a origem é conexo mas não é conexo por caminhos.[10]

Referências

  1. a b c Lima 1981, p. 54.
  2. Lima 1981, p. 55.
  3. Lima 1981, p. 55, Teorema 31.
  4. a b Lima 1981, p. 55, Teorema 30.
  5. a b Lima 1981, p. 57, Teorema 33.
  6. Lima 1981, p. 59, Teorema 35.
  7. a b c d e f g Lima 1981, p. 63.
  8. Lima 1981, p. 59.
  9. a b Lima 1981, pp. 59-60.
  10. a b Lima 1981, p. 61.
  11. Lima 1981, p. 60.
  12. Lima 1981, p. 61, Teorema 36.