Conjectura de Hodge

Problemas do Prémio Millennium
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	v; d; e;

A conjectura de Hodge é um importante problema, ainda não resolvido, de geometria algébrica no que diz respeito a topologias de variedade algébrica complexa não singular e as subvariedades dessa variedade. Concretamente, a conjectura propõe que certos grupos de co-homologia de Rham são algébricos, isto é, são somas de dualidades de Poincaré de classes homólogas de subvariedades.

A conjectura de Hodge é um dos Problemas do Milênio do Clay Mathematics Institute, cuja solução faz jus a um prêmio de US$1.000.000,00.

Contexto

Seja X uma variedade complexa conexa de dimensão complexa n. Logo X é uma variedade diferenciável orientável de dimensão 2n, pelo que seus grupos de co-homologia residem em graus zero através de 2n. Assuma-se que X é uma variedade de Kähler, ou seja, há uma decomposição em sua co-homologia com coeficientes complexos:

H^{k}(X,\mathbf {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H^{p,q}(X),

onde $H^{p,q}(X)$ é o subgrupo de grupos de co-homologia que estão representados por formas harmônicas de tipo (p, q). Isto é, estes são os grupos de co-homologia representados por formas diferenciais que, em uma determinada opção de coordenadas locais $z_{1},\ldots ,z_{n}$ , pode ser escrita como o produto de uma função harmônica com $dz_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dz_{i_{p}}\wedge d{\bar {z}}_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge d{\bar {z}}_{j_{q}}$ . (Veja-se Teoria de Hodge para mais detalhes). Tomar produtos exteriores destes representantes harmônicos corresponde ao cup product em co-homologia, de forma que o cup product é compatível com a decomposição de Hodge:

\cup :H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).

Dado que X é uma variedade complexa, X tem uma classe fundamental.

Seja Z uma subvariedade complexa de X, de dimensão k, e seja i : Z → X a função de inclusão. Escolha-se uma forma diferencial α do tipo (p, q). Podemos integrar α sobre Z:

\int _{Z}i^{*}\alpha .\!\,

.

Para avaliar esta integral, tome-se um ponto de Z e denomine-o 0. Ao redor de 0, podemos selecionar coordenadas locais $z_{1},\ldots ,z_{n}$ em X tais que Z seja $z_{k+1}=\cdots =z_{n}=0$ . Se p > k, então α deve conter algum $dz_{i}$ onde $z_{i}$ tenda a zero em Z. O mesmo é verdadeiro se q > k. Consequentemente, esta integral é zero se (p, q) ≠ (k, k).

De forma mais abstrata, a integral pode ser escrita como o cap product do grupo de homologia de Z e do grupo de homologia representado por α. Segundo a dualidade de Poincaré, o grupo de homologia de Z é dual ao grupo de homologia que chamaremos [Z], e o cap product pode ser calculado tomando o cup product de [Z] e α e fazendo o cap com a classe fundamental de X. Dado que [Z] é um grupo de co-homologia, deve possuir uma decomposição de Hodge. Segundo o cálculo anterior, ao realizar o cup deste grupo com outro tipo de grupo (p, q) ≠ (k, k), obteremos zero como resultado. Dado que $H^{2n}(X,\mathbf {C} )=H^{n,n}(X)$ , conclui-se que [Z] deve situar-se em $H^{n-k,n-k}(X,\mathbf {C} )$ .

Em termos gerais, podemos dizer que a conjectura de Hodge propões a seguinte questão:

Que classes de co-homologia em $H^{k,k}(X)$ derivam de subvariedades complexas Z?

Referências

Hodge, W. V. D. "The topological invariants of algebraic varieties". Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Cambridge, MA, 1950, vol. 1, pp. 181–192.
Grothendieck, A. "Hodge's geral conjecture is false for trivial reasons". Topology 8 1969, pp. 299–303.

Ligações externas