Diferencial exato

No cálculo com múltiplas variáveis, uma diferencial é dita ser exata (ou perfeita), em contraste com uma diferencial inexata, se é de forma $dQ$, para alguma função $Q$ diferenciável.

Interpretação

Trabalhamos em três dimensões, com definições semelhantes fixando em qualquer outro número de dimensões. Em três dimensões, uma forma do tipo

$A(x,y,z)dx+B(x,y,z)dy+C(x,y,z)dz$

é chamada de forma diferencial. Esta forma é chamada exata em um domínio $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ no espaço se existe alguma função escalar $Q=Q(x,y,z)$ definida em $D$ de tal forma que

$dQ\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{z,x}dy+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}dz,$   $dQ=Adx+Bdy+Cdz$

em todo $D$. Isto é equivalente a dizer que o campo vetorial $(A,B,C)$ é um campo vetorial conservativo, com correspondente potencial $Q$.

Relações diferenciais parciais

Se três variáveis, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$ estão ligadas pela condição${\displaystyle F(x,y,z)={\text{constant}}}$ para alguma função diferencial ${\displaystyle F(x,y,z)}$, então existem os seguintes diferenciais totais:

${\displaystyle dx={\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}\,dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\,dz}$

${\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\,dx+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\,dy.}$

Substituindo a primeira equação pela segunda e reordenando, obtemos:

${\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\left[{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz\right]+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}dy,}$

${\displaystyle dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy+{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz,}$

${\displaystyle \left[1-{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\right]dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy.}$

Como ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$ são variáveis independentes, ${\displaystyle dy}$ e ${\displaystyle dz}$ podem ser escolhidos sem restrições. Para que esta última equação se mantenha em geral, os termos entre parênteses devem ser iguais a zero.

Relação de reciprocidade

Estabelecendo o primeiro termo entre parênteses igual a zero:

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}=1.}$

Um leve rearranjo dá uma relação de reciprocidade:

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}}}.}$

Há mais duas permutações da derivação anterior que dão um total de três relações de reciprocidade entre o estilo x, y e z. As relações de reciprocidade mostram que o inverso de uma derivada parcial é igual a sua recíproca.

Relação cíclica

A relação cíclica também é conhecida como a regra cíclica ou a regra do produto triplo. Definindo o segundo termo entre parênteses igual a zero rendimentos:

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}=-{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}.}$

O uso de uma relação de reciprocidade para o estilo de jogo z parcial y parcial frac nesta equação e reordenação dá uma relação cíclica (a regra do produto triplo):

${\displaystyle {\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)}_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1.}$

Se, em vez disso, for utilizada uma relação de reciprocidade para ${\displaystyle {\tfrac {\partial x}{\partial y}}}$ com posterior rearranjo, é obtido um formulário padrão para diferenciação implícita: ${\displaystyle {\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=-{\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}.}$

Algumas equações úteis derivadas de diferenciais exatos em duas dimensões

(Veja também as equações termodinâmicas de Bridgman para o uso de diferenciais exatos na teoria das equações termodinâmicas)

Suponha que tenhamos cinco funções de estado ${\displaystyle z,x,y,u}$ e ${\displaystyle v}$. Suponha que o espaço de estados seja bidimensional e que qualquer uma das cinco quantidades seja exatamente diferencial. Então, pela regra da cadeia

${\displaystyle (1)~~~~~dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}dy=\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial z}{\partial v}}\right)_{u}dv}$

mas também pela regra da cadeia:

${\displaystyle (2)~~~~~dx=\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)_{u}dv}$

e

${\displaystyle (3)~~~~~dy=\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)_{u}dv}$

para que:

${\displaystyle (4)~~~~~dz=\left[\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}\right]du}$

${\displaystyle +\left[\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)_{u}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)_{u}\right]dv}$

o que implica que:

${\displaystyle (5)~~~~~\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}}$

Tomando ${\displaystyle v=y}$ temos:

${\displaystyle (6)~~~~~\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{y}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{y}}$

Tomando ${\displaystyle u=y}$ temos:

${\displaystyle (7)~~~~~\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{v}=\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{v}}$

Tomando ${\displaystyle u=y},{\displaystyle v=z}$ temos:

${\displaystyle (8)~~~~~\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}=-\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}}$

usando $({\displaystyle \partial a/\partial b)_{c}=1/(\partial b/\partial a)_{c}}$ dá a regra do produto triplo:

${\displaystyle (9)~~~~~\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}=-1}$