Equações de Friedmann

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As Equações de Friedmann são um conjunto de equações em cosmologia física que governam a expansão métrica do espaço em modelos homogêneos e isotrópicos do Universo dentro do contexto da Teoria Geral da Relatividade. Foram apresentadas por Alexander Friedman em 1922 [1] a partir das equações de campo de Einstein para a métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker e um fluido com uma densidade de energia () e uma pressão () dadas. As equações para curvatura espacial negativa foram dadas por Friedmann em 1924.[2]

Pressupostos[editar | editar código-fonte]

As equações de Friedmann começam com a hipótese simplificadora de que o universo é espacialmente homogêneo e isotrópico, i.e. o Princípio Cosmológico; empiricamente, isto é justificado em escalas maiores que ~100 Mpc. O Princípio Cosmológico implica que a métrica do universo deve ser da forma:

onde é uma métrica tridimensional que deve ser de um (a) espaço plano, (b) uma esfera de curvatura positiva constante ou (c) um espaço hiperbólico com curvatura negativa constante. O parâmetro discutido abaixo toma o valor 0, 1, -1 nestes três casos, respectivamente. É este fato que nos permite falar de uma forma sensata de um "fator de escala", .

As equações de Einstein agora relacionam a evolução deste fator de escala para a pressão e energia da matéria no universo. As equações resultantes são descritas abaixo.

Equações[editar | editar código-fonte]

As equações são:

onde é a constante cosmológica possivelmente causada pela energia do vazio, é a constante gravitacional, é a velocidade da luz, é o fator de escala do Universo e é a curvatura gaussiana quando (p.ex. hoje, na atualidade). Se a forma do universo é hiperesférica e é o raio de curvatura ( no momento atual), então . Geralmente, é a curvatura gaussiana. Se é positiva, então o Universo é hiperesférico. Se é zero, o Universo é plano e se é negativo o Universo é hiperbólico. Note-se que e são função de . O parâmetro de Hubble, , é a velocidade de expansão do universo.

Estas equações às vezes se simplificam redefinindo a densidade de energia e a pressão:

para obter:

O parâmetro de Hubble pode mudar no tempo se outros membros da equação são dependentes do tempo (em particular a densidade de energia, a energia do vazio e a curvatura). Avaliando o parâmetro de Hubble no momento atual resulta que a constante de Hubble que é a constante de proporcionalidade da lei de Hubble. Aplicado a um fluido com uma equação de estado dada, as equações de Friedmann dão como resultado a evolução no tempo e a geometria do Universo como função da densidade do fluido.

Alguns cosmólogos chamam à segunda destas duas equações a equação de aceleração e reservam o termo equação de Friedmann só para a primeira equação.

O parâmetro de densidade[editar | editar código-fonte]

O parâmetro de densidade, , se define como a relação da densidade atual (ou observada) relacionado à densidade crítica do Universo de Friedmann. Uma expressão para a densidade crítica se encontra assumindo que é zero (como é para todos os Universos de Friedmann básicos) e estabelecendo a curvatura igual a zero. Quando se substituem estes parâmetros na primeira equação de Friedmann encontramos que:

E a expressão para o parâmetro de densidade (útil para comparar diferentes modelos cosmológicos) se obtém que é:

Este termo originalmente foi utilizado como uma maneira de determinar a geometria do campo no que é a densidade crítica para a qual a geometria é plana. Assumindo uma densidade de energia do vazio nula, se é maior que um, a geometria é fechada e o Universo eventualmente parará sua expansão e então se colapsará. Se é menor que um, será aberto e o Universo se expandirá para sempre. Entretanto, também se podem sintetizar os termos de curvatura e da energia do vazio numa expressão mais geral para no caso de que este parâmetro de densidade de energia seja exatamente igual à unidade. Então é uma questão de medir os diferentes componentes, normalmente designados por sub-índices. De acordo com o modelo Lambda-CDM, há importantes componentes de devido a bárions, matéria escura fria e energia escura. A geometria do espaço-tempo foi medida pelo satélite WMAP estando próxima de ser uma geometria plana, o que quer dizer, que o parâmetro de curvatura é aproximadamente zero.

A primeira equação de Friedmann frequentemente se escreve formalmente com os parâmetros de densidade.

Onde, é a densidade de radiação atual, é a densidade da matéria (escura mais a bariónica) atual e é a constante cosmológica ou a densidade do vazio atual.

Equação de Friedmann reescalada[editar | editar código-fonte]

Estabelecendo onde a_0 y H_0 são em separado o fator de escala e o parâmetro de Hubble atuais. Então podemos dizer que:

onde . Para qualquer forma do potencial efetivo , há uma equação de estado que a produzirá.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Friedmann, A: Über die Krümmung des Raumes, Z. Phys. 10 (1922), 377-386. (Tradução para o inglês em: Gen. Rel. Grav. 31 (1999), 1991-2000.)
  2. Friedmann, A (1924). «Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes». Z. Phys. [S.l.: s.n.] 21: 326–332. doi:10.1007/BF01328280.  (em alemão) (English translation in: Friedmann, A (1999). «On the Possibility of a World with Constant Negative Curvature of Space». General Relativity and Gravitation [S.l.: s.n.] 31: 2001–2008. doi:10.1023/A:1026755309811. )