Triângulo retângulo: diferenças entre revisões
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'''Triângulo retângulo''', em [[geometria]], é um [[triângulo]] que possui um [[ângulo reto]] e outros dois ângulos agudos, para tanto basta que tenha um ângulo reto (90°), pois a soma dos três ângulos internos é igual a um ângulo raso (180°). É uma figura geométrica muito usada na [[matemática]], no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico. Em um triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. A [[área]] de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos menores lados. A relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria. |
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== Olha por essas imagem pergunte ao seu professor == |
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de geografia |
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==Elementos do triângulo retângulo== |
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que e mais simples do que eu te explicar |
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[[Imagem:Triângulo retângulo.svg|direita|miniatura|200px|Elementos de um triângulo retângulo. Os pontos ''A'', ''B'' e ''C'', os lados opostos ''a'' (hipotenusa), ''b'' e ''c'' (catetos) e as projeções de ''b'' e ''c'', ''m'' e ''n''.]] |
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Um triângulo retângulo é composto por quatro principais elementos: |
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* [[Cateto]]s; |
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* [[Hipotenusa]]; |
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* Altura relativa à hipotenusa; |
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* Projeções dos catetos. |
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=== Catetos === |
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Os [[cateto]]s são os menores lados do triângulo retângulo. Eles formam o ângulo de 90°. |
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=== Altura relativa à hipotenusa === |
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A altura relativa à hipotenusa é a distância entre a hipotenusa e o vértice oposto. |
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=== Projeções dos catetos === |
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A altura relativa à hipotenusa divide-a em duas partes, denominadas projeções dos catetos. |
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== Relações métricas do triângulo retângulo == |
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As relações métricas do triângulo retângulo são quatro. Os três [[triângulo]]s formados ao traçar a altura relativa à hipotenusa são retângulos e semelhantes. |
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[[Imagem:Elementos do triângulo retângulo.svg|350px|thumb|Ilustração dos principais elementos do triângulo retângulo: ''a'' é a hipotenusa, ''b'' o cateto maior, ''c'' o cateto menor, ''h'' a altura relativa à hipotenusa, ''m'' a projeção do cateto ''b'' e ''n'' a projeção do cateto ''c'']] |
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* A hipotenusa é igual à soma das projeções. |
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: <math> a=m+n</math> |
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Por [[semelhança de triângulos]], temos que: |
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* O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos. |
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* : <math> \frac{h}{m}=\frac{n}{h} \Rightarrow h^2=mn</math> |
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* O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a sua projeção (que se encontra do seu lado) e a hipotenusa. |
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* : <math> \frac{b}{a}=\frac{m}{b} \Rightarrow b^2 = am</math> |
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* : <math> \frac{c}{a}=\frac{n}{c} \Rightarrow c^2 = an</math> |
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* O produto entre a hipotenusa e a altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos. |
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* : <math> \frac{a}{c}=\frac{b}{h} \Rightarrow ah=bc</math> |
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== Teorema de Pitágoras == |
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[[Imagem:Exemplo de um triângulo retângulo.svg|thumb|right]] |
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O [[Teorema de Pitágoras]] diz que: |
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{{quote2|A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.|Pitágoras}} |
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: '''hipotenusa (AB)² = cateto (BC)² + cateto (CA)²''' |
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== Relações trigonométricas do triângulo retângulo == |
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Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo é através da medida de um ângulo e um lado, usando a [[Trigonometria]]. As principais relações trigonométricas são: [[Seno]], [[Cosseno]] e [[Tangente]]. Há outras três: [[Cotangente]], [[Secante (trigonometria)|Secante]] e [[Cossecante]]. |
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=== Seno de um ângulo === |
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É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem : |
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: <math> \mbox{sen } A = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{hipotenusa}}</math> |
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=== Cosseno de um ângulo === |
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Cosseno: É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem:: |
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: <math> \cos A = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{hipotenusa}}</math> |
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=== Tangente de um ângulo === |
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É dado pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:: |
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: <math> \mbox{tg } A = {\mbox{sen } A \over \cos A} = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{cateto adjacente}} </math> |
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=== Cotangente de um ângulo === |
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É dado pela razão entre o Cosseno e o Seno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem: |
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: <math> \mbox{cotg } A = {\cos A \over \mbox{sen } A} = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{cateto oposto}} </math> |
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=== Secante de um ângulo === |
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É dado pelo inverso do cosseno desse ângulo ou entre os lados que formam o próprio ângulo, dado na seguinte ordem: |
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: <math> \sec A = {1 \over \cos A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto adjacente}} </math> |
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=== Cossecante de um ângulo === |
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É dado pelo inverso do seno desse ângulo ou entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado na seguinte ordem: |
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: <math> |
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\mbox{cossec } A = {1 \over \mbox{sen } A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto oposto}} </math> |
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== Ângulos notáveis == |
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! Graus !! Radianos !! sen !! cos !! tg !! cotg !! sec !! cossec |
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| 60 || <math>\tfrac{\pi}{3}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{1}}{2}=\tfrac{1}{2}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>2</math> || <math>\tfrac{2\sqrt{3}}{3}</math> |
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== Circunferência inscrita num triângulo retângulo == |
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O [[diâmetro]] (d) de uma [[circunferência]] inscrita num [[triângulo rectângulo]] (a b c) é igual à soma dos catetos, menos a [[hipotenusa]], representado pela seguinte fórmula: |
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: <math>a + b = c + d</math> |
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[[Imagem:Triangulorectangulo.PNG|thumb|400px]] |
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* <math>a =</math> [[cateto]] |
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* <math>b =</math> cateto |
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* <math>c =</math> [[hipotenusa]] |
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* <math>r =</math> [[raio (geometria)|raio]] da [[circunferência]] inscrita |
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* <math>d =</math> [[diâmetro]] da circunferência inscrita |
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: <math>\left\{ \begin{matrix} a=x+r \Rightarrow x=a-r \, \left ( I \right )\\ b=y+r \Rightarrow y=b-r \, \left (II \right )\\ c=x+y \, \left (III \right ) \end{matrix} \right. </math> |
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Substituindo I e II em III, teremos |
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: <math>c=a-r+b-r \Rightarrow c=a+b-2r \Rightarrow c+2r=a+b </math> |
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Como: |
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: <math>d=2r \Rightarrow c+d=a+b</math> |
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==Ver também== |
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*[[Triângulo]] |
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*[[Teorema de Pitágoras]] |
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*[[Trigonometria]] |
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==Ligações externas== |
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{{Wikilivros|Matemática elementar|Geometria plana/Triângulos/Triângulo retângulo|Triângulo retângulo}} |
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*[http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigon1/mod114.htm Matemática Essencial: Trigonometria do Triângulo Retângulo] |
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*[http://seusaber.com.br/matematica/como-calcular-a-area-de-um-triangulo-retangulo.html Calculando a área do triângulo retângulo] |
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[[Categoria:Geometria do triângulo]] |
[[Categoria:Geometria do triângulo]] |
Revisão das 23h08min de 27 de setembro de 2016
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Setembro de 2011) |
Triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo que possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos, para tanto basta que tenha um ângulo reto (90°), pois a soma dos três ângulos internos é igual a um ângulo raso (180°). É uma figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico. Em um triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. A área de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos menores lados. A relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.
Elementos do triângulo retângulo
Um triângulo retângulo é composto por quatro principais elementos:
- Catetos;
- Hipotenusa;
- Altura relativa à hipotenusa;
- Projeções dos catetos.
Catetos
Os catetos são os menores lados do triângulo retângulo. Eles formam o ângulo de 90°.
Altura relativa à hipotenusa
A altura relativa à hipotenusa é a distância entre a hipotenusa e o vértice oposto.
Projeções dos catetos
A altura relativa à hipotenusa divide-a em duas partes, denominadas projeções dos catetos.
Relações métricas do triângulo retângulo
As relações métricas do triângulo retângulo são quatro. Os três triângulos formados ao traçar a altura relativa à hipotenusa são retângulos e semelhantes.
- A hipotenusa é igual à soma das projeções.
Por semelhança de triângulos, temos que:
- O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos.
- :
- O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a sua projeção (que se encontra do seu lado) e a hipotenusa.
- :
- :
- O produto entre a hipotenusa e a altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos.
- :
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras diz que:
“ | A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. | ” |
ou, em linguagem matemática:
- hipotenusa (AB)² = cateto (BC)² + cateto (CA)²
Relações trigonométricas do triângulo retângulo
Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo é através da medida de um ângulo e um lado, usando a Trigonometria. As principais relações trigonométricas são: Seno, Cosseno e Tangente. Há outras três: Cotangente, Secante e Cossecante.
Seno de um ângulo
É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem :
Cosseno de um ângulo
Cosseno: É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem::
Tangente de um ângulo
É dado pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem::
Cotangente de um ângulo
É dado pela razão entre o Cosseno e o Seno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:
Secante de um ângulo
É dado pelo inverso do cosseno desse ângulo ou entre os lados que formam o próprio ângulo, dado na seguinte ordem:
Cossecante de um ângulo
É dado pelo inverso do seno desse ângulo ou entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado na seguinte ordem:
Ângulos notáveis
Graus | Radianos | sen | cos | tg | cotg | sec | cossec |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | ||||||
30 | |||||||
45 | |||||||
60 | |||||||
90 |
Circunferência inscrita num triângulo retângulo
O diâmetro (d) de uma circunferência inscrita num triângulo rectângulo (a b c) é igual à soma dos catetos, menos a hipotenusa, representado pela seguinte fórmula:
- cateto
- cateto
- hipotenusa
- raio da circunferência inscrita
- diâmetro da circunferência inscrita
Substituindo I e II em III, teremos
Como: