Função holomorfa: diferenças entre revisões

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Revisão das 19h58min de 7 de outubro de 2017

Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano complexo $\mathbb {C}$ com valores em $\mathbb {C}$ que são diferenciáveis em cada ponto.^[1]

Esta condição é muito mais forte que a diferenciabilidade em caso real e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua série de Taylor. O termo função analítica é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa",^[1] entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz função inteira. A frase "holomorfa em um ponto $a\in \mathbb {C}$ " significa não só diferenciável em $a$ , mas diferenciável em algum disco aberto centrado em $a$ , no plano complexo.

Definição

Se $U$ é um subconjunto aberto de $\mathbb {C}$ e $f:U\to \mathbb {C}$ é uma função^[2], dizemos que $f$ é diferenciável complexa ou $\mathbb {C}$ -diferenciável no ponto $z_{0}\in U$ se o limite

f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}

existir.^[3]

Este limite se toma aqui sobre todas as sucessões de números complexos que se aproximam de $z_{0}$ , e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número $f'(z_{0})$ . Intuitivamente, se $f$ é diferenciável complexa em $z_{0}$ e nas proximidades ao ponto $z_{0}$ da direção $r$ , então as imagens se aproximarão ao ponto $f(z_{0})$ a partir da direção $f'(z_{0})r$ , onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a diferenciabilidade em caso real: é linear e obedece as regras da derivação do produto, do quociente, da cadeia e da função inversa.^[3]

Se $f$ é complexa diferenciável em cada ponto $z_{0}\in U$ , dizemos que $f$ é holomorfa em $U$ .^[1]

Propriedades

A derivada de uma função complexa tem várias propriedades análogas à derivada de uma função real, como, por exemplo:

$(f+g)'=f'+g'$
$(fg)'=f'g+fg'$

etc. ^[3]

Algumas propriedades de funções holomorfas, porém, não tem equivalentes nas funções reais. Por exemplo:

Se a parte real, ou a parte imaginária, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.^[1]
Se o módulo, ou o argumento, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.^[3] O argumento, aqui, é o ângulo $\theta$ obtido pela transformação $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\,$

Pelas propriedades acima, a função $f:\mathbb {C} \to \mathbb {R} _{0}^{+}$ , dada por $f(z)=|z|\,$ não é holomorfa em nenhum aberto (pode-se provar diretamente que esta função não é diferenciável em nenhum ponto^[3]).

Além disso, se uma função $f:U\to \mathbb {C}$ é holomorfa no aberto $U\subset \mathbb {C}$ e é dada por $f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ , então satisfaz as equações de Cauchy-Riemann ${\big (}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$ e ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}{\big )}$ para todo o $z_{0}\in U$ . O recíproco não é, em geral, verdade. A condição torna-se necessária e suficiente se for exigido que $u$ e $v$ sejam funções de classe $C^{1}$ no ponto $(x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2}$ tal que $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$ .

Ver também

Função antiholomorfa

Referências

↑ ^a ^b ^c ^d Robert Friedman, Columbia University, Department of Mathematics, 2. Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations, 2.4 The Cauchy-Riemann equations
↑ «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 24 de março de 2016
↑ ^a ^b ^c ^d ^e Robert Friedman, Columbia University, Department of Mathematics, 2. Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations, 2.3 Complex derivatives [em linha]

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[friedman.2.4-1] Robert Friedman, Columbia University, Department of Mathematics, 2. Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations, 2.4 The Cauchy-Riemann equations

[2] «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 24 de março de 2016

[friedman.2.3-3] Robert Friedman, Columbia University, Department of Mathematics, 2. Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations, 2.3 Complex derivatives [em linha]

[1]

[2]

[3]

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 {{mais-notas|data=Novembro de 2011}}
 {{Minidesambig|o holomorfo de um fungo|Teleomorfo}}
-'''Funções holomorfas''' são o [[objeto]] central do estudo da [[análise complexa]]. Estas [[funções]] são definidas sobre um [[conjunto aberto|subconjunto aberto]] do [[número complexo|plano de número complexo]] '''C''' com valores em '''C''' que são diferenciáveis em cada [[ponto (matemática)|ponto]].<ref name="friedman.2.4">[[Robert Friedman]], [[Columbia University]], ''Department of Mathematics'', 2. ''Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations'', 2.4 ''The Cauchy-Riemann equations'' </ref>
+'''Funções holomorfas''' são o [[objeto]] central do estudo da [[análise complexa]]. Estas [[funções]] são definidas sobre um [[conjunto aberto|subconjunto aberto]] do [[número complexo|plano  complexo]] <math>\mathbb{C}</math> com valores em '''<math>\mathbb{C}</math>''' que são diferenciáveis em cada [[ponto (matemática)|ponto]].<ref name="friedman.2.4">[[Robert Friedman]], [[Columbia University]], ''Department of Mathematics'', 2. ''Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations'', 2.4 ''The Cauchy-Riemann equations'' </ref>
-Esta condição é muito mais forte que a [[Derivada|diferenciabilidade em caso real]] e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua [[série de Taylor]]. O termo '''''[[função analítica]]''''' é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa",<ref name="friedman.2.4">[[Robert Friedman]], [[Columbia University]], ''Department of Mathematics'', 2. ''Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations'', 2.4 ''The Cauchy-Riemann equations'' </ref> entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz [[função inteira]]. A frase "holomorfa em um ponto ''a''" significa não só diferenciável em ''a'', mas diferenciável em algum disco aberto centrado em ''a'', no plano complexo.
+Esta condição é muito mais forte que a [[Derivada|diferenciabilidade em caso real]] e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua [[série de Taylor]]. O termo '''''[[função analítica]]''''' é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa",<ref name="friedman.2.4">[[Robert Friedman]], [[Columbia University]], ''Department of Mathematics'', 2. ''Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations'', 2.4 ''The Cauchy-Riemann equations'' </ref> entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz [[função inteira]]. A frase "holomorfa em um ponto<math>a \in \mathbb{C}</math>" significa não só diferenciável em ''<math>a</math>'', mas diferenciável em algum disco aberto centrado em ''<math>a</math>'', no plano complexo.
 == Definição ==
-Se ''U'' é um [[conjunto aberto|subconjunto aberto]] de '''C''' e ''f'' : ''U'' → '''C''' é uma função<ref>{{Citar web|url = http://omonitor.io/?q=holomorfa|titulo = Faça exemplos com <b>O Monitor</b>|acessodata = 2016-03-24|obra = omonitor.io}}</ref>, dizemos que ''f'' é ''diferenciável complexa'' ou ''C-diferenciável'' no ponto ''z''<sub>0</sub> de ''U'' se o [[limite]]
+Se <math>U</math> é um [[conjunto aberto|subconjunto aberto]] de <math>\mathbb{C}</math> e <math>f: U \to \mathbb{C}</math> é uma função<ref>{{Citar web|url = http://omonitor.io/?q=holomorfa|titulo = Faça exemplos com <b>O Monitor</b>|acessodata = 2016-03-24|obra = omonitor.io}}</ref>, dizemos que <math>f</math> é ''diferenciável complexa'' ou ''<math>\mathbb{C}</math>-diferenciável'' no ponto <math>z_0 \in U</math> se o [[limite]]
 :<math>f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }</math>
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 existir.<ref name="friedman.2.3">[[Robert Friedman]], [[Columbia University]], ''Department of Mathematics'', 2. ''Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations'', 2.3 ''Complex derivatives'' [http://www.math.columbia.edu/~rf/complex2.pdf <nowiki>[em linha]</nowiki>]</ref>
-Este limite se toma aqui sobre todas as [[seqüência|sucessões]] de números complexos que se aproximam de ''z''<sub>0</sub>, e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número ''f''&nbsp;'(''z''<sub>0</sub>). Intuitivamente, se ''f'' é diferenciável complexa em ''z''<sub>0</sub> e nas proximidades ao ponto ''z''<sub>0</sub> da direção ''r'', então as imagens se aproximarão ao ponto ''f''(''z''<sub>0</sub>) a partir da direção ''f''&nbsp;'(''z''<sub>0</sub>) ''r'', onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a [[Derivada|diferenciabilidade em caso real]]: é [[transformação linear|linear]] e obedece as regras da derivação do produto, do quociente, da cadeia e da função inversa.<ref name="friedman.2.3" />
+Este limite se toma aqui sobre todas as [[seqüência|sucessões]] de números complexos que se aproximam de <math>z_0</math>, e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número <math>f'(z_0)</math>. Intuitivamente, se <math>f</math> é diferenciável complexa em <math>z_0</math> e nas proximidades ao ponto <math>z_0</math> da direção ''<math>r</math>'', então as imagens se aproximarão ao ponto <math>f(z_0)</math> a partir da direção <math>f'(z_0)r</math>, onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a [[Derivada|diferenciabilidade em caso real]]: é [[transformação linear|linear]] e obedece as regras da derivação do produto, do quociente, da cadeia e da função inversa.<ref name="friedman.2.3" />
-Se ''f'' é complexa diferenciável em cada ponto ''z''<sub>0</sub> em ''U'', dizemos que ''f'' é ''holomorfa em U''.<ref name="friedman.2.4" />
+Se <math>f</math> é complexa diferenciável em cada ponto <math>z_0 \in U</math>, dizemos que <math>f</math> é ''holomorfa em <math>U</math>''.<ref name="friedman.2.4" />
 == Propriedades ==
 A derivada de uma função complexa tem várias propriedades análogas à [[derivada]] de uma função real, como, por exemplo:
-* (f + g)' = f' + g'
+* <math>(f+g)' = f' + g'</math>
-* (fg)' = f' g + f g'
+* <math>(fg)' = f'g + fg'</math>
 etc. <ref name="friedman.2.3" />
 Algumas propriedades de funções holomorfas, porém, não tem equivalentes nas funções reais. Por exemplo:
 * Se a parte real, ou a parte imaginária, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.<ref name="friedman.2.4"/>
-* Se o módulo, ou o argumento, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.<ref name="friedman.2.3" /> O argumento, aqui, é o ângulo &theta; obtido pela transformação <math>z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\,</math>
+* Se o módulo, ou o argumento, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.<ref name="friedman.2.3" /> O argumento, aqui, é o ângulo <math>\theta</math> obtido pela transformação <math>z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\,</math>
-Pelas propriedades acima, a função <math>f(z) = |z|\,</math> não é holomorfa em nenhum aberto (pode-se provar diretamente que esta função não é diferenciável em nenhum ponto<ref name="friedman.2.3" />).
+Pelas propriedades acima, a função <math>f: \mathbb{C} \to \mathbb{R}^{+}_{0}</math>, dada por <math>f(z) = |z|\,</math> não é holomorfa em nenhum aberto (pode-se provar diretamente que esta função não é diferenciável em nenhum ponto<ref name="friedman.2.3" />).
+Além disso, se uma função <math>f: U \to \mathbb{C}</math> é holomorfa no aberto <math>U \subset \mathbb{C}</math> e é dada por<math>f(z) = f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y)</math>, então satisfaz as [[Análise complexa#As Condi.C3.A7.C3.B5es de Cauchy-Riemann|equações de Cauchy-Riemann]] <math>\big(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} </math>  e  <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\big)</math> para todo o <math>z_0 \in U</math>. O recíproco não é, em geral, verdade. A condição torna-se necessária e suficiente se for exigido que <math>u</math> e <math>v</math> sejam funções de classe <math>C^1</math>no ponto <math>(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2</math> tal que <math>z_0 = x_0 + iy_0</math>.
 == {{Ver também}} ==