Multiplicação

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3 x 4 = 12 = 4 x 3, i.e. as doze esferas vermelhas podem ser organizadas em três linhas e quatro colunas (ou quatro colunas e três linhas).

Em matemática, a multiplicação é uma é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Ao lado da adição, da divisão e da subtração, a multiplicação é uma das quatro operações fundamentais da aritmética. Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador.

$x\cdot y={\begin{matrix}\underbrace {y+y+\cdots +y} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}$

(lê-se "x vezes y" ou "y adicionado x vezes")

Assim, por exemplo,

$3\times 4=4+4+4=12,$

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de reta dados determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais (veja aqui).

Propriedades

• Comutativa: A ordem dos fatores não altera o resultado da operação. Assim, se x . y = z, logo y . x = z.(5×4=20, logo 4×5=20)
• Associativa: O agrupamento dos fatores não altera o resultado. (Podemos juntar de dois em dois de modo que facilite o cálculo). Assim, se (x . y) . z = w, logo x . (y . z) = w.[(2×3)×4=24 logo 2×(3×4)=24]
• Distributiva: Um fator colocado em evidência numa soma dará como produto a soma do produto daquele fator com os demais fatores. Assim, x . (y + z) = (x . y) + (x . z).
• Elemento Neutro: O um (1) é chamado elemento neutro da multiplicação. Assim, x . 1 = x = 1 . x.
• Fechamento: O produto de dois números reais será sempre um número real.

Na matemática, podemos dizer que a multiplicação é a mais simples forma de agruparmos uma quantidade finita de números. Ao efetuarmos uma multiplicação, chegamos a uma resposta que é chamada de produto. Na geometria, está relacionada também como uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de retas dados, podemos determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais.

Comutatividade da multiplicação de números naturais:

$x\cdot y={\begin{matrix}\underbrace {y+y+y+\cdots +y} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}$

$x\cdot y={\begin{matrix}\underbrace {y+y+y+\cdots +y} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}+x-x$

$=x+{\begin{matrix}\underbrace {(y-1)+(y-1)+\cdots +(y-1)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}$

$=x+x+{\begin{matrix}\underbrace {(y-2)+(y-2)+\cdots +(y-2)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}$

$={\begin{matrix}\underbrace {x+x+x+\cdots +x} \\{n}\\[-4ex]\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {(y-n)+(y-n)+\cdots +(y-n)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}$ Tomando $n=y,$ temos:

$={\begin{matrix}\underbrace {x+x+x+\cdots +x} \\{y}\\[-4ex]\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {(y-y)+(y-y)+\cdots +(y-y)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}$

$={\begin{matrix}\underbrace {x+x+x+\cdots +x} \\{y}\\[-4ex]\end{matrix}}$

$=y\cdot x$

Distributividade da multiplicação de números naturais:

$x\cdot (y+z)={\begin{matrix}\underbrace {(y+z)+(y+z)+\cdots +(y+z)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}$

$={\begin{matrix}\underbrace {y+y+y+\cdots +y} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {z+z+z+\cdots +z} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}$

$=x\cdot y+x\cdot z$

Notação

A multiplicação pode ser escrita de várias formas equivalentes. Todas as formas abaixo significam, "5 vezes 2":

$5\times 2$

$5\cdot 2$

$(5)2,\ 5(2),\ (5)(2),\ 5[2],\ [5]2,\ [5][2]$

$5*2$

O asterisco é usado frequentemente em computação pois é um símbolo existente em todos os tipos de teclado, mas não é usado quando se escreve matemática à mão (A origem desta notação vem da linguagem de programação FORTRAN.) Frequentemente a multiplicação esta implícita na notação. Isto é o padrão em Álgebra, onde se usa formas como:

$5x$ e $xy.$

O potencial de confusão que isto cria é grande, já que não podemos ter variáveis com mais de uma letra.

É possível se multiplicar um ou mais termos de uma vez. Se os termos não são escritos explicitamente, então o produto pode ser escrito com reticências ... para marcar os termos que estão subentendidos, como em outras operações em série na soma.

Desta forma, o produto de todos os números naturais de 1 a 100 pode ser escrito como $1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 99\cdot 100.$ Isto também pode ser escrito com as elipses (três pontinhos) no meio da linha e não embaixo, como $1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 99\cdot 100.$

De forma alternativa, como na adição o produto pode ser escrito usando-se um símbolo de produto, chamado produtório Π que é a letra Pi no alfabeto grego.

Isto é definido como:

$\prod _{i=m}^{n}x_{i}:=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \cdots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}.$

O subscrito é uma variável muda ($i$ no nosso caso), o limite inferior é ($m$) e o limite superior é $n.$

Assim por exemplo:

$\prod _{i=2}^{6}\left(1+{1 \over i}\right)=\left(1+{1 \over 2}\right)\cdot \left(1+{1 \over 3}\right)\cdot \left(1+{1 \over 4}\right)\cdot \left(1+{1 \over 5}\right)\cdot \left(1+{1 \over 6}\right)={7 \over 2}.$

Podemos também considerar um produto com um número infinito de termos; este é chamados de produto infinito. Apenas como notação, basta substituir n acima por infinity o símbolo para (∞). Matematicamente, o produtório é definido para séries infinitas como o limite do produto dos $n$ primeiros termos, quando $n$ cresce sem limite. Isto é:

$\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.$

Podemos de forma semelhante substituir $m$ por infinito negativo, e

$\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}:=\left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=-n}^{m}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m+1}^{n}x_{i}\right),$

para algum inteiro $m,$ desde que o limite exista.

Indeterminações

Na multiplicação e divisão, existem 2 indeterminações:

• $\pm {\frac {\infty }{\infty }}$
• $0\cdot \infty$