Medida de Lebesgue

Em matemática, a medida de Lebesgue é a generalização padrão do conceitos de comprimento na reta, área no plano e volume no espaço. A medida de Lebesgue está definida para uma ampla família de subconjuntos do $\mathbb {R} ^{n}\,$. Esta família é na realidade uma sigma-álgebra e contém os conjuntos abertos e conjuntos fechados.

Nomenclatura e propriedades

A medida de Lebesgue em $\mathbb {R} ^{n}\,$ é uma função $\mu :{\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} ^{+}$. A família ${\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,$ é compostas por subconjuntos de $\mathbb {R} ^{n}$ que são chamados de conjuntos mensuráveis à Lebesgue ou conjuntos Lebesgue mensuráveis. Possui as seguintes propriedades:

• Seja $I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}],~~a_{i}\leq b_{i}\,$, então $I\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,$ e:

$\mu (I)=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\ldots (b_{n}-a_{n})\,$

• Em especial:

$\mu (\emptyset )=0\,$

• Se $E_{j}\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,$ então $\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,$ e, ainda:

$\mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (E_{j})$, onde a igualdade ocorre se os conjuntos $E_{j}\,$ forem disjuntos dois a dois.

• Se $E_{j}\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,$ então $\bigcap _{j=1}^{\infty }E_{j}\in {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{n})\,$.
• Se $A\subseteq B\,$ e $\mu (B)=0\,$ então $A\,$ é mensurável e tem medida zero.
• É invariante por translação, ou seja, se $A\,$ é mensurável e $A_{\lambda }\,$ é definido como $A_{\lambda }=\{x+\lambda :x\in A\}\,$ então $A_{\lambda }\,$ é mensurável e :

$\mu (A)=\mu (A_{\lambda })\,$

• Se $A\,$ é mensurável e $T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\,$ é uma transformação linear, então $TA:=\{Tx:x\in A\}\,$ é mensurável e:

$\mu (TA)=|T|\mu (A)\,$, onde $|T|\,$ é o determinante da transformação.

Ver também

• Conjunto de medida zero
• Medida