Relação bem-fundada

Em matemática, uma relação binária ${\textstyle R\subseteq X\times X}$ é uma relação bem-fundada numa classe X, se e somente se, todo subconjunto não vazio de X, tiver um elemento R-minimal; ou seja, para todo subconjunto não vazio S de X, existe um elemento m de S tal que para todo elemento s de S, o par (s,m) não está em R.

Em outras palavras, todo subconjunto não vazio de X possui um elemento m tal que para todo s, $s\not \in m.$ Desta forma, evitamos situações de loop.

Formalizando com a lógica de predicados, temos:

$$\forall S\exists m\forall s((S\subseteq X\land S\neq \{\})\rightarrow ((m\in S\land s\in S)\land \neg (s\in m))).$$

Isto quando tratamos da relação de pertinência em teorias de conjuntos bem-fundados.

Para uma relação R qualquer, equivalentemente podemos denotar, como o descrito no primeiro parágrafo deste artigo: ${\textstyle \forall S\in \wp (X)\setminus \{\emptyset \}}$${\textstyle (\exists m\in S(\nexists s\in S(sRm)))}$, onde ${\textstyle \wp (X)}$ representa o conjunto (ou classe) das partes de X, caso X o admita (como não é o caso de classes próprias).

Equivalentemente, assumindo uma função de escolha qualquer, uma relação será bem-fundada se e somente se essa relação não contiver cadeia descendente infinitamente enumerável, isto é, se não existir uma sequência x₀, x₁,... de elementos de X, tal que ${\textstyle \forall n\in \mathbb {N} :x_{n+1}Rx_{n}}$.

Na teoria das estruturas ordenadas, uma ordem parcial é dita bem-fundada se a ordem estrita correspondente é uma relação bem-fundada. Se a ordem for uma ordem total, então ela é dita bem-ordenada.

Na teoria dos conjuntos, um conjunto ß é dito um conjunto bem-fundado se a relação de pertinência for bem-fundada no fecho transitivo de ß. O axioma da regularidade, o qual é um dos axiomas na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, afirmando que todos os conjuntos são bem-fundados.

Algumas definições

• O conjunto vazio é um conjunto bem-fundado;
• Toda coleção de conjuntos bem-fundados, é um conjunto bem-fundado;
• Se todo elemento de x é bem-fundado, então x é bem-fundado;
• Todo elemento de um conjunto bem-fundado é bem-fundado;
• Todo subconjunto de um conjunto bem-fundado é bem-fundado.

Note que para uma estrutura binária finita ser bem-fundada é necessário e suficiente que essa estrutura não tenha loop, ou seja, um conjunto, por exemplo, em que seu subconjunto é ele mesmo.

Indução e Recursão

Se (X, R) é uma relação binária bem-fundada e P(x) é alguma propriedade dos elementos de X, queremos mostrar que P(x) vale para todos os elementos de X, então é suficiente mostrar que:

Considerando a propriedade P como sendo "olhos claros" e a relação $yRx$ significando "y é pai de x".

Se x é um elemento de X e P(y) é verdadeiro para todo y tal que y se relaciona com x ($yRx$), então P(x) deve ser também verdadeiro.

Talvez o significado considerado para a propriedade P e para a relação R não seja tão expressivo para este caso, pois se y for pai de x, não necessariamente x terá olhos claros (como seu pai), mas há significado mais expressivo a ser considerado.

Relações bem-fundadas dão suporte não apenas à indução, mas também a construções de objetos por recursão transfinita. Seja (X, R) uma relação bem-fundada conjuntista e F uma função que determina um objeto F(x, g) para cada $x\in X$ e cada função parcial g em X. Então existe uma única função G tal que para cada $x\in X,$

$$G(x)=F(x,G\vert _{\{y:y\,R\,x\}}).$$

Isto é, se queremos construir uma função G em X, podemos definir G(x) usando os valores de G(y) tais que $yRx.$ Como um exemplo, consideremos a relação bem-fundada ($\mathbb {N} ,$ S), onde $\mathbb {N}$ é o conjunto de todos os números naturais e S é o gráfico da função sucessor x->x+1. Então uma indução sobre S é a indução matemática usual e a recursão em S se trata da recursão primitiva. Se considerarmos a relação de ordem ($\mathbb {N} ,$ <), obtemos a indução completa e a recursão sobre curso de valores. A asserção de que ($\mathbb {N} ,$ <) é bem-fundada é também conhecida como princípio da boa ordenação.

Existem outros casos especiais de indução bem-fundada. Quando a relação bem-fundada é ordenação usual na classe de todos os números ordinais, a técnica é chamada de indução transfinita; quando o conjunto bem-fundado é um conjunto de estruturas de dados recursivamente definidas, a técnica é chamada de indução estrutural (método de demonstração em que a proposição vale para todas as estruturas minimais, e que se valer para as subestruturas de uma determinada estrutura S, então deverá valer para S também). Quando a relação bem-fundada é pertinência de conjuntos na na classe universal, a técnica é conhecida como ∈ - indução.

Exemplos

Relações bem-fundadas não totalmente ordenadas:

• Os inteiros ($\mathbb {Z}$) positivos {1,2,3...} com a ordem definida por $a<b$ se e somente se a divide b e a ≠ b.
• O conjunto de todas as strings finitas sobre um alfabeto fixo, com a ordem definida por $s<t$ se e somente se s é uma substring própria de t.
• O conjunto $\mathbb {N}$x$\mathbb {N}$ de pares de números naturais, ordenados por (n₁,n₂)<(m₁,m₂) se e somente se n₁<m₁ e n₂<m₂.
• O conjunto das expressões regulares sobre um alfabeto fixo, com a ordem definida por $s<t$ se e somente se s é uma sub-expressão própria de t.
• Qualquer classe cujos elementos são conjuntos, com a relação R definida, tal que $aRb$ se e somente se a é um elemento de b (assumindo o axioma da regularidade).
• Os nós de qualquer grafo finito acíclico direcionado com a relação R definida de tal modo que $aRb$ se e somente se existe uma aresta de a até b.

Outras propriedades

Se (X, <) é uma relação bem-fundada e x é um elemento de X, então as cadeias descendentes começando em x são todas finitas, mas isso não significa que seus comprimentos serão necessariamente limitados. Considere o seguinte exemplo. Seja X a união dos inteiros positivos com um novo elemento ω, o qual é maior do que qualquer inteiro. Então X é um conjunto bem-fundado, mas existem cadeias descendentes começando em ω de comprimento (finito) arbitrariamente grande; a cadeia ω, n-1, n-2,... 2,1 tem comprimento n para qualquer n.

O lema de colapso de Mostowski implica que a pertinência entre conjuntos é uma relação bem-fundada universal: para qualquer relação bem-fundada R conjuntista sobre uma classe X, existe uma classe C tal que (X, R) é isomorfo a (C, E).

Reflexividade

Uma relação R é dita reflexiva se $aRa$ é válida para todo a no domínio da relação. Toda relação reflexiva sobre um domínio não vazio tem cadeia descendentes infinitas, porque qualquer seqüência constante é uma cadeia descendente. Por exemplo, para os números naturais com a sua condição de ordem usual ≤, temos 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤... . Para evitar estas seqüências descendentes triviais, quando estamos trabalhando com a relação reflexiva R é comum usar, às vezes implicitamente, a relação alternativa R' definida de tal modo que $aR'b$ se apenas se $aRb$ e a ≠ b. No contexto dos números naturais isso significa que a relação <, que é bem-fundada, é usada em vez da relação ≤, que não é bem-fundada. Em alguns textos, a definição de uma relação bem-ordenada é uma versão modificada da definição acima, proposta com o intuito de incluir esta convenção.

Ver também

• Relação transitiva
• Relação binária
• Relação de ordem
• Relação de equivalência
• Relação composta
• Relação inversa

Referências

• JONES, Roger Bishop, Dec.2006. Well Founded Relations
• TAYLO, Paul. Practical Foundations of Mathematics
• LARRECQ, Jean Goubault. Well-Founded Recursive Relations
• CONIGLIO, Marcelo Esteban.Teoria axiomática dos conjuntos. Universidade estadual de Campinas-SP, Brasil.
• FORSTER, Thomas.Logic, Computation and Set Theory. 14 jan. 2002.