Método de Wiener–Hopf

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O Método de Wiener–Hopf é uma técnica amplamente utilizada em matemática aplicada. Foi desenvolvido inicialmente por Norbert Wiener e Eberhard Hopf como um método para resolver sistemas de equações integrais, porém foi aplicado com sucesso para resolver equações diferenciais parciais bidimensionais com condições de contorno mistas sobre o mesmo contorno. Em geral, o método explora as propriedades de funções complexas mediante transformação. A transformação típica utilizada é a transformada de Fourier, porém outras transformações já foram empregadas, como a transformada de Mellin.

Em geral, o problema de valores sobre o contorno é transformado, e o sistema resultante é usado para definir um par de funções complexas (tipicamente denotado com subscritos '+' e '-'), que são respectivamente analíticas nas metades superior e inferior do plano complexo, com crescimento não mais rápido que polinômios nestas regiões. Estas duas funções funções coincidem em alguma região do plano comlexo, tipicamente uma tira estreita contendo o eixo real. A extensão analítica garante que estas duas funções definem uma função analítica simples em todo o plano complexo, e o Teorema de Liouville implica que esta função é um polinômio incógnito, que é normalmente zero ou constante. A análise das condições nas bordas e vértices possibilita determinar o grau deste polinômio.

Decomposição de Wiener–Hopf[editar | editar código-fonte]

O ponto crucial em muitos problemas de Wiener-Hopf é decompor uma função arbitrária em duas funções com as propriedades acima delineadas. Em geral, isto pode ser feito escrevendo

e

onde os contornos e são paralelos ao eixo real, mas passam acima e abaixo do ponto , respectivamente.

Similarmente, funções escalares arbitrárias podem ser decompostas em um produto de funções +/-, isto é, , primeiramente tomando o logarítmo, e então procedendo a decomposição de soma. Decomposição de produtos de funções matriciais (que ocorrem em sistemas multi-modais acoplados tal como em ondas elásticas) são mais problemáticos, pois o logarítmo não é bem definido, e qualquer decomposição pode ser não-comutativa. Uma pequena subclasse de decomposições comutativas foi obtida por Khrapkov, e vários métodos aproximados foram também desenvolvidos.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Consideremos a equação diferencial parcial linear

onde é um operador linear que contém derivadas em relação a e , sujeita a condições mistas sobre , para uma função prescrita ,

para quando ,

decaindo no infinito, isto é, com . Aplicando a transformada de Fourier em relação a x, resulta na seguinte equação diferencial ordinária

onde é um operador linear contendo somente derivadas em , é uma função de e conhecida e

Se uma solução particular desta equação diferencial ordinária que satisfaz o decaimento necessário no infinito é denotada por , uma solução geral pode ser expressa como

sendo uma função incógnita a ser determinada pelas condições de contorno sobre .

O ponto crucial é decompor em duas funções e , analíticas nos semi-planos superior e inferior do plano complexo, respectivamente

As condições de contorno fornecem então

e, com derivadas parciais em relação a ,

Eliminando resulta

com

Agora como o produto das funções e , que são analíticas nos semi-planos superior e inferior, respectivamente, ou seja, onde

Consequentemente,

onde foi assumido que pode ser decomposta na soma de duas funções e , que são analíticas nos semi-planos superior e inferior, respectivamente. Agora, como o lado esquerdo da equação acima é analítico no semi-plano inferior, enquanto o lado direito é analítico no semi-plano superior, a continuação analítica garante a existência de uma função em todo o plano, que coincide com o lado esquerdo ou com o lado direito em seus respectivos semi-planos. Além disso, como pode ser mostrado que as funções em cada um dos lados da equação acima decaem para grandes valores de , a aplicação do teorema de Liouville mostra que esta única função é identicamente zero, e portanto,

e assim

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]