Magma comutativo: diferenças entre revisões

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Revisão das 17h14min de 17 de maio de 2017

Em matemática, existem magmas que são comutativos, mas não associativos. Um exemplo simples de tais magmas é obtido a partir do jogo das crianças de pedra, papel e tesoura. Tais magmas dão origem a álgebras não-associativas.

Um magma comutativo não-associativo derivado do jogo de pedra, papel e tesoura

Seja $M:=\{r,p,s\},$ cujos elementos correspondem aos gestos de "pedra", "papel" e "tesoura" (em inglês, "rock", "paper" e "scissor"), respectivamente, e considere a operação binária $\cdot :M\times M\to M$ decorrente das regras do jogo da seguinte maneira:

Para quaisquer

x,y\in M:

Se $x\neq y$ e $x$ vence $y$ no jogo, então, $x\cdot y=y\cdot x=x$
$x\cdot x=x,$ ou seja, todo $x$ é idempotente.

Assim, por exemplo:

$r\cdot p=p\cdot r=p$ "o papel vence a pedra";
$s\cdot s=s$ "a tesoura empata com a tesoura".

Isso resulta na seguinte tabela de Cayley:

{\begin{array}{c|ccc}\cdot &r&p&s\\\hline r&r&p&r\\p&p&p&s\\s&r&s&s\end{array}}

Por definição, o magma

(M,\cdot )

é comutativo, mas além disso ele é não-associativo, como se pode ver considerando que:

r\cdot (p\cdot s)=r\cdot s=r

mas

(r\cdot p)\cdot s=p\cdot s=s

isto é,

r\cdot (p\cdot s)\neq (r\cdot p)\cdot s

Outros exemplos

A operação de "média" $x\oplus y=(x+y)/2$ nos números racionais (ou qualquer sistema numérico comutativo fechado sob a divisão) também é comutativa, mas não é associativa em geral, por exemplo,

-4\oplus (0\oplus +4)=-4\oplus +2=-1

mas

(-4\oplus 0)\oplus +4=-2\oplus +4=+1

Geralmente, as operações de média estudadas em topologia não precisam ser associativas.

A construção aplicada na seção anterior para pedra-papel-tesoura aplica-se diretamente para variantes do jogo com outra quantidade de gestos, como descrito na seção de variações, desde que existam dois jogadores e as condições sejam simétricas entre eles; de forma mais abstrata, ela pode ser aplicada a qualquer relação binária trichotomous relação binária (como "vencer" no jogo). O magma resultante será associativo se a relação for transitiva e, portanto, é uma ordem total (estrita); caso contrário, se finito, ela contém ciclos orientados (como pedra-papel-tesoura-pedra) e o magma é não-associativa. Para ver este último caso, considere a combinação de todos os elementos de um ciclo na ordem inversa, isto é, de modo que cada elemento combinado vence o anterior; o resultado é o último elemento combinado, enquanto associatividade e comutatividade significaria que o resultado só dependeria do conjunto de elementos do ciclo.

A linha inferior do diagrama de Karnaugh acima dá mais exemplos de operações, definidas nos números inteiros (ou em qualquer anel comutativo).

Álgebras não associativas comutativas derivadas

Usando o exemplo de pedra-papel-tesoura, pode-se construir uma álgebra sobre um corpo $K$ comutativa mas não-associativa: considere $A$ como sendo o espaço vetorial tridimensional sobre $K$ cujos elementos são escritos na forma

(x,y,z)=xr+yp+zs,

em que

x,y,z\in K.

A adição vetorial e a multiplicação por escalar são definidas componente a componente, e os vetores são multiplicados usando as regras acima para multiplicar os elementos

r,p,s.

O conjunto

:

\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\},

ou seja,

\{r,p,s\}

forma uma base para a álgebra $A.$ Como antes, a multiplicação de vetores em $A$ é comutativa, mas não é associativa.

O mesmo procedimento pode ser utilizado para obter a partir de qualquer magma comutativo $M$ uma álgebra sobre $K$ em $K^{M},$ que será não-associativa se o mesmo ocorrer com $M.$

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 == Um magma comutativo não-associativo derivado do jogo de pedra, papel e tesoura ==
-[[Ficheiro:Integer_examples_for_groups_and_non-groups_svg.svg|miniaturadaimagem|[[Mapa de Karnaugh]] de todas as possibilidades de as propriedades '''Com'''utativa, '''Associativa''', '''Inv'''erso, e '''Ide'''ntidade valer ('''y''') ou não ('''n'''), e a definição de uma operação binária ⊕ correspondente sobre os [[Número inteiro|números inteiros]] para quase todas as possibilidades.]]
+[[Ficheiro:Integer examples_for_groups_and_non-groups_svg.svg|miniaturadaimagem|[[Mapa de Karnaugh]] de todas as possibilidades de as propriedades '''Com'''utativa, '''Associativa''', '''Inv'''erso, e '''Ide'''ntidade valer ('''y''') ou não ('''n'''), e a definição de uma operação binária ⊕ correspondente sobre os [[Número inteiro|números inteiros]] para quase todas as possibilidades.]]
-Seja <math /> , cujos elementos correspondem aos gestos de "pedra", "papel" e "tesoura" (em inglês, "rock", "paper" e "scissor"), respectivamente, e considere a [[operação binária]] <math /> decorrente das regras do jogo da seguinte maneira:
+Seja <math>M := \{ r, p, s \},</math> cujos elementos correspondem aos gestos de "pedra", "papel" e "tesoura" (em inglês, "rock", "paper" e "scissor"), respectivamente, e considere a [[operação binária]] <math>\cdot : M \times M \to M</math> decorrente das regras do jogo da seguinte maneira:
-: Para quaisquer <math />:
+: Para quaisquer <math>x, y \in M:</math>
-:* Se <math /> e <math /> vence <math /> no jogo, então, <math />
+:* Se <math>x \neq y</math> e <math>x</math> vence  <math>y</math> no jogo, então, <math>x \cdot y = y \cdot x = x</math>
-:* <math />, ou seja, todo <math /> é [[Idempotência|idempotente]].
+:* <math>x \cdot x = x,</math> ou seja, todo <math>x</math> é [[Idempotência|idempotente]].
 : Assim, por exemplo:
-:* <math /> &nbsp; "o papel vence a pedra";
+:* <math>r \cdot p = p \cdot r = p</math> &nbsp; "o papel vence a pedra";
-:* <math /> &nbsp; "a tesoura empata com a tesoura".
+:* <math>s \cdot s = s</math>&nbsp; "a tesoura empata com a tesoura".
 Isso resulta na seguinte tabela de Cayley:
+<math display="block">\begin{array}{c|ccc}
-: <math />
+\cdot & r & p & s\\
-Por definição, o magma <math /> é comutativo, mas além disso ele é não-associativo, como se pode ver considerando que:
+\hline
-: <math />
+r & r & p & r\\
+p & p & p & s\\
+s & r & s & s
+\end{array}</math>
+Por definição, o magma <math>(M, \cdot)</math> é comutativo, mas além disso ele é não-associativo, como se pode ver considerando que:
+<math display="block">r \cdot (p \cdot s) = r \cdot s = r</math>
 mas
+<math display="block">(r \cdot p) \cdot s = p \cdot s = s</math>
-: <math />
 isto é,
+<math display="block">r \cdot (p \cdot s) \neq (r \cdot p) \cdot s</math>
-: <math />
 == Outros exemplos ==
-A operação de "[[Média aritmética|média]]" <math /> nos [[Número racional|números racionais]] (ou qualquer sistema numérico comutativo fechado sob a divisão) também é comutativa, mas não é associativa em geral, por exemplo,
+A operação de "[[Média aritmética|média]]" <math> x \oplus y = ( x + y ) / 2 </math> nos [[Número racional|números racionais]] (ou qualquer sistema numérico comutativo fechado sob a divisão) também é comutativa, mas não é associativa em geral, por exemplo,
+<math display="block">-4 \oplus (0 \oplus +4) = -4 \oplus +2 = -1</math>
-: <math />
 mas
+<math display="block">(-4 \oplus 0) \oplus +4  = -2 \oplus +4 = +1</math>
-: <math />
 Geralmente, as operações de média estudadas em topologia não precisam ser associativas.
-A construção aplicada na seção anterior para pedra-papel-tesoura aplica-se diretamente para variantes do jogo com outra quantidade de gestos, como descrito na seção de ''[[Pedra, papel e tesoura|variações]]'', desde que existam dois jogadores e as condições sejam simétricas entre eles; de forma mais abstrata, ela pode ser aplicada a qualquer relação binária [[Tricotomia (matemática)|trichotomous]] relação binária (como "vencer" no jogo). O magma resultante será associativo se a relação for transitiva e, portanto, é uma [[Relação de ordem|ordem total]] (estrita);
+A construção aplicada na seção anterior para pedra-papel-tesoura aplica-se diretamente para variantes do jogo com outra quantidade de gestos, como descrito na seção de ''[[Pedra, papel e tesoura#Variações|variações]]'', desde que existam dois jogadores e as condições sejam simétricas entre eles; de forma mais abstrata, ela pode ser aplicada a qualquer relação binária [[Tricotomia (matemática)|trichotomous]] relação binária (como "vencer" no jogo). O magma resultante será associativo se a relação for transitiva e, portanto, é uma [[Relação de ordem|ordem total]] (estrita);
 caso contrário, se finito, ela contém [[Ciclo (teoria de grafos)|ciclos orientados]] (como pedra-papel-tesoura-pedra) e o magma é não-associativa. Para ver este último caso, considere a combinação de todos os elementos de um ciclo na ordem inversa, isto é, de modo que cada elemento combinado vence o anterior;
 o resultado é o último elemento combinado, enquanto associatividade e comutatividade significaria que o resultado só dependeria do conjunto de elementos do ciclo.
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 == Álgebras não associativas comutativas derivadas ==
-Usando o exemplo de pedra-papel-tesoura, pode-se construir uma [[álgebra sobre um corpo]] <math /> comutativa mas não-associativa: considere <math /> como sendo o [[espaço vetorial]]  tridimensional sobre <math /> cujos elementos são escritos na forma
+Usando o exemplo de pedra-papel-tesoura, pode-se construir uma [[álgebra sobre um corpo]] <math>K</math> comutativa mas não-associativa: considere <math>A</math> como sendo o [[espaço vetorial]]  tridimensional sobre <math>K</math>  cujos elementos são escritos na forma
+<math display="block">(x, y, z) = x r + y p + z s,</math>
-: <math />
-em que <math />. A adição vetorial e a multiplicação por escalar são definidas [[Vetor (matemática)|componente]] a componente, e os vetores são multiplicados usando as regras acima para multiplicar os elementos <math />.
+em que <math>x, y, z \in K.</math> A adição vetorial e a multiplicação por escalar são definidas [[Vetor (matemática)|componente]] a componente, e os vetores são multiplicados usando as regras acima para multiplicar os elementos <math>r, p, s.</math>
 O conjunto
-: <math /> ou seja, <math />
+: :<math>\{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) \},</math> ou seja, <math>\{ r, p, s \}</math>
-forma uma [[Base (álgebra linear)|base]] para a álgebra <math />. Como antes, a multiplicação de vetores em <math /> é comutativa, mas não é associativa.
+forma uma [[Base (álgebra linear)|base]] para a álgebra <math>A.</math> Como antes, a multiplicação de vetores em <math>A</math> é comutativa, mas não é associativa.
-O mesmo procedimento pode ser utilizado para obter a partir de qualquer magma comutativo <math /> uma álgebra sobre <math /> em <math />, que será não-associativa se o mesmo ocorrer com <math />.
+O mesmo procedimento pode ser utilizado para obter a partir de qualquer magma comutativo <math>M</math> uma álgebra sobre <math>K</math> em <math>K ^ M,</math> que será não-associativa se o mesmo ocorrer com <math>M.</math>
+[[Categoria:Álgebra não-associativa]]
-'''Referências'''