Multiplicação

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Em matemática, a multiplicação é uma operação binária. Na sua forma mais simples a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador.

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de recta dados determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois inciais (veja aqui).

• Comutatividade: A ordem dos fatores não altera o resultado da operação. Assim, se x . y = z, logo y . x = z.

• Associatividade: O agrupamento dos fatores não altera o resultado.(Podemos juntar de dois em dois de modo que facilite o calcculo). Assim, se (x . y) . z = w, logo x . (y . z) = w.

• Distributividade: Um fator colocado em evidência numa soma dará como produto a soma do produto daquele fator com os demais fatores. Assim, x . (y + z) = (x . y) + (x . z).

• Elemento neutro: O fator 1 (um) não altera o resultado dos demais fatores. O um é chamado "Elemento neutro" da multiplicação. Assim, se x . y = z, logo x . y . 1 = z.(obs:o 0 é o da soma.)

• Elemento opositor: O fator -1 (menos um) transforma o produto em seu simétrico. Assim, -1 . x = -x e -1 . y = -y, para y diferente de x.

• Fechamento: O produto de dois números reais será sempre um número real.

• Anulação: O fator 0 (zero) anula o produto. Assim, x . 0 = 0, e y . 0 = 0, com x diferente de y.

Na matemática , podemos dizer que a multiplicação é a mais simples formar de agruparmos uma quantidade finita de números.Ao efeturmaos uma multiplicação , chegamos a uma resposta que é chamada de PRODUTO.Na geometria , está relacionada tembém como uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de retas dados, podemos determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois inciais.

Notação

A multiplicação pode ser escrita de várias formas estranhas. Todas as formas abaixo significam, "chato":

$5\times 2$

$5\cdot 2$

$(5)2,\ 5(2),\ (5)(2),\ 5[2],\ [5]2,\ [5][2]$

$5*2\$

O asterisco é usado frequentemente em computação pois em um símbolo existente em todos os tipos de teclado, mas não é usado quando escrevendo-se matemática à mão (A origem desta notação vem da linguagem de programação FORTRAN.) Frequentemente a multiplicação esta implícita na notação. Isto é o padrão em Álgebra, onde se usa formas como:

$5x$ e $xy$.

O potencial de confusão que isto cria é grande já que não podemos ter variáveis com mais de um letra.

É possível se multiplicar um ou mais termos de uma vez. Se os termos não são escritos explicitamente, então o produto pode ser escrito com reticências ... para marcar os termos que estão subentendidos, como em outras operações em série na soma.

Desta forma, o produto de todos os números naturais de 1 a 100 pode ser escrito como $1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 99\cdot 100$. Isto também pode ser escrito com as elipses (três pontinhos) no meio da linha e não embaixo, como $1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 99\cdot 100$.

De forma alternativa, como na adição o produto pode ser escrito usando-se um símbolo de produto, chamado produtório Π que é a letra Pi no alfabeto grego. Isto é definido como:

$\prod _{i=m}^{n}x_{i}:=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \cdots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}.$

O subscrito é uma variável muda ($i$ no nosso caso), o limite inferior é ($m$) e o limite superior é $n$.

Assim por exemplo:

$\prod _{i=2}^{6}\left(1+{1 \over i}\right)=\left(1+{1 \over 2}\right)\cdot \left(1+{1 \over 3}\right)\cdot \left(1+{1 \over 4}\right)\cdot \left(1+{1 \over 5}\right)\cdot \left(1+{1 \over 6}\right)={7 \over 2}.$

Podemos também considar produtos com um número infinito de termos; estes são chamados de produto infinito. Apenas como notação, basta substituir n acima por infinity o símbolo para (∞). Matematicamente, o produtório é definido para séries infinitas como o limite do produto dos $n$ primeiros termos, quando $n$ cresce sem limite. Isto é:

$\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.$

Podemos de forma semelhante substituir $m$ por infinito negativo, e

$\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}:=\left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=-n}^{m}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m+1}^{n}x_{i}\right),$

para algum inteiro $m$, desde que o limite exista.

Indeterminações

Na multiplicação e divisão, existem 3 indeterminações:

• ${\frac {0}{0}}$
• $\pm {\frac {\infty }{\infty }}$
• $0\cdot \infty$