Número primo

Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo.

Nos inteiros, $p\in \mathbb {Z}$ é um primo se ele tem exatamente quatro divisores: $\pm 1$ e $\pm p$. Uma definição um pouco mais técnica, que permite generalizar este conceito para outros conjuntos, é dizer que o conjunto dos divisores de p que não são inversíveis não é vazio, e todos seus elementos são produtos de p por inteiros inversíveis. Por definição, $0$, $1$ e $-1$ não são números primos.

Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C..

A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo. Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.

Se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto. Por convenção, os números 0, 1 e -1 não são considerados primos nem compostos.

O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração).

Os 168 primeiros números primos positivos são:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

Exemplos de decomposições:

• $4=2\times 2$
• $6=2\times 3$
• $8=2\times 2\times 2$
• $9=3\times 3$
• $10=2\times 5$
• $472.342.734.872.390.487=3\times 7\times 827\times 978.491\times 27.795.571$

Os átomos da aritmética

Os gregos foram os primeiros a perceber que qualquer número natural, exceto o 1, pode ser gerado pela multiplicação de números primos, os chamados blocos de construção". A primeira pessoa, até onde se sabe, que produziu tabelas de números primos foi Eratóstenes, no terceiro século a.C. Ele escrevia inicialmente uma lista com todos os números de 1 a 1000. Em seguida escolhia o primeiro primo, 2, e eliminava da lista todos os seus múltiplos. Passava ao número seguinte que não fora eliminado e procedia também eliminando todos os seus múltiplos. Desta forma Erastótenes produziu tabelas de primos, mais tarde este procedimento passou a se chamar de crivo de Eratóstenes.

Durante o século XVII os matemáticos descobriram o que acreditavam ser um método infalível para determinar se um número $N$ era primo: calcule $2$ elevado a potência $N$ e divida-o por $N$, se o resto for $2$, então o número será primo. Em termos da calculadora-relógio de Gauss, esses matemáticos estavam tentando calcular $2^{N}$ em um relógio com $N$ horas. Em 1819, o teste dos números primos foi eliminado, pois funciona para todos os números até $340$, mas falha para $341=11\times 31$. Exceção descoberta com uma calculadora-relógio de Gauss contendo 341 horas utilizada para simplificar a análise de um número como $2^{341}$.

Grupos e sequências de números primos

Pierre de Fermat (1601-1665) descobriu que todo número primo da forma $4n+1$, tal como 5,13,17,29,37,41, etc., é a soma de dois quadrados. Por exemplo:

$5=1^{2}+2^{2},$

$13=2^{2}+3^{2},$

$17=1^{2}+4^{2},$

$29=2^{2}+5^{2},$

$37=1^{2}+6^{2},$

$41=4^{2}+5^{2}.$

Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:

• $(4n+1)$ - que podem sempre ser escritos na forma ($x^{2}+y^{2}$); e
• $(4n-1)$ - nunca podem ser escritos na forma ($x^{2}+y^{2}$).

Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo: 31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 e 33.333.331 são primos mas 333.333.331 não é, pois (333.333.331 = 17 x 19.607.843).

Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longos buracos entre os números primos, o número 370.261 é seguido de cento e onze números compostos e não existem primos entre os números 20.831.323 e 20.831.533. Essa irregularidade na distribuição dos números primos é uma das razões^{[carece de fontes]} de não existir uma fórmula matemática que produza todos os números primos^{[carece de fontes]}. Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo $x^{2}-x+41$ fornece primos quando $x=0,\ 1,\ 2,\ ...,\ 40$. Veja que para x = 41, a fórmula resulta em $41^{2}$ que não é primo.

Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de $x$, de fato em 1.752 Goldbach provou que não há uma expressão polinomial em $x$ com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de $x$.

Não se sabe se há uma expressão polinomial $ax^{2}+bc+c$ com $a\neq 0$ que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se $a$, $2b$ e $c$ não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}$

representa infinitos primos, quando $x$ e $y$ assumem valores positivos inteiros.

Fermat pensou que a fórmula $2^{2^{n}}+1$ forneceria números primos para $n=0,\ 1,\ 2,\ ...$. Este números são chamados de números de Fermat e são comumente denotados por $F_{n}$. Os cinco primeiros números são:

$F_{0}=3,\;F_{1}=5,\;F_{2}=17,\;F_{3}=257\;e\;F_{4}=65.537$,

sendo todos primos.

Maior número primo conhecido

Atualmente o maior número primo encontrado é $2^{43.112.609}-1$ descoberto no dia 23 de agosto de 2008, num projeto de computação distribuída pela Internet, o GIMPS, que usa o tempo ocioso do microprocessador de computadores pessoais, procurando por números primos específicos, do tipo $2^{p}-1$, em que $p$ é primo, chamados primos de Mersenne. Este último primo encontrado é o primo de Mersenne de número 46 e tem 12.978.189 dígitos.

Aproximações para o n-ésimo primo

Como consequência do teorema do número primo , uma expressão assintótica para o n-ésimo primo p_n é:

$p_{n}\sim n\ln n.$

Uma aproximação melhor é:

${p_{n}=n\ln n+n\ln \ln n-n+{\frac {n}{\ln n}}\left(\ln \ln n-2\right)-{\frac {n\ln \ln n}{2(\ln n)^{2}}}\left(\ln \ln n-6\right)+O\left({\frac {n}{(\ln n)^{2}}}\right).}$

O teorema de Rosser mostra que p_n é maior que n ln n. É possível melhorar esta aproximação com os limites :

$n\ln n+n(\ln \ln n-1)<p_{n}<n\ln n+n\ln \ln n\quad {\mbox{for }}n\geq 6.$

Ver também

• Crivo de Eratóstenes
• Números primos gêmeos
• Elemento Primo
• Elemento Irredutivel

Referências

• Hua, L. K. (2009). Additive Theory of Prime Numbers. Col: Translations of Mathematical Monographs. 13. [S.l.]: AMS Bookstore. ISBN 978-0-8218-4942-2 

Ligações externas

• Teorema de Euclides - no wikilivro sobre Teoria dos números
• 10000 primos - no wikilivro sobre Teoria dos números
• Fórmulas para Números Primos
• Primos de Mersenne de maneira didática
• Prime curios at the prime pages
• The prime pages
• MacTutor history of prime numbers
• The "PRIMES is in P" FAQ
• Lista dos maiores números provavelmente primos
• The prime puzzles
• The Prime Project gera um número primo cada vez que a página é acessada (Link Inexistente - A Página não existe)
• Uma tradução para o inglês da demonstração de Euclides da infinitude dos primos
• Primes from WIMS is an online prime generator.
• Prime Factorization Worksheet generates new questions every time the page is loaded
• Prime Spiral pattern
• 12 digit primes Known 12-digit prime factors of Googolplex - 1
• An Introduction to Analytic Number Theory, by Ilan Vardi and Cyril Banderier
• Primos de Mersenne - Os maiores primos já encontrados
• Calculadora de Números Primos
• Determinación geométrica de los números primos y de los números perfectos
• A demonstration of the Generalized Benford's Law on Prime Numbers