Raiz da unidade

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Raízes cúbicas da unidade no plano complexo
Raízes quintas da unidade no plano complexo

Em matemática, as raízes n-ésimas da unidade, ou números de de Moivre[1], são todos os números complexos que resultam 1 quando são elevados a uma potência dada n. Raízes da unidade são usadas em muitas áreas da matemática, sendo especialmente importantes para a teoria dos números, para a representação de caráter em teoria dos grupos, e para a transformada discreta de Fourier. Pode-se demonstrar que estão localizados no círculo unitário do plano complexo e que nesse plano formam os vértices de um polígono regular de n lados com um vértice sobre 1.

Uma raiz n-ésima da unidade é chamada de primitiva (ou seja, uma raiz primitiva n-ésima da unidade) quando ela não é também uma raiz m-ésima da unidade para m < n. Por exemplo, i é uma raiz quarta e raiz oitava da unidade, mas é apenas uma raiz quarta primitiva da unidade.

Definição[editar | editar código-fonte]

Diz-se que uma raiz n-ésima da unidade, onde n é um inteiro positivo (n = 1, 2, 3, …), é um número complexo z que satisfaça a equação

,

que, pelo teorema fundamental da álgebra, possui raízes no conjunto dos números complexos.[2]

Soluções[editar | editar código-fonte]

Uma das soluções sempre será o número , já que para qualquer inteiro positivo. As demais soluções podem ser obtidas reescrevendo o número de forma conveniente através da fórmula de Euler:

Substituindo-se , onde obtém-se:

Resolvendo a equação que define as raízes da unidade:

Então pode ser escrito como:

,

A princípio, tal expressão aponta para um número infinito de soluções. No entanto, dado a periodicidade das funções seno e cosseno, há mais de um associado a uma mesma raiz. De fato, há infinitos associados a um mesmo valor de que seja dado por um valor principal . A relação de congruência entre e é, por análise:

Desse modo, a solução resume-se a raízes para , dadas por:

Propriedades aritméticas[editar | editar código-fonte]

Soma das raízes[editar | editar código-fonte]

A soma das raízes da unidade é igual a , . Uma maneira de provar isso, é utilizando a soma de uma progressão geométrica.

Outra maneira de provar essa propriedade, é considerar as relações de Girard. Observando o polinômio , é fácil notar que a soma das raízes é igual a .

Produto das Raízes[editar | editar código-fonte]

Através das relações de Girard, pode-se deduzir que o produto das raízes é para ímpar e para par.

Equação Ciclotômica[editar | editar código-fonte]

Ver artigos principais: Equação ciclotômica e Corpo ciclotômico

Teorema de Gauss-Wantzel[editar | editar código-fonte]

Carl Friedrich Gauss demonstrou que o problema de resolver a equação , também denominada ciclotômica, pode ser reduzido a resolver uma série de equações quadráticas, para quando for um primo de Fermat, isto é, para quando for um primo e puder ser escrito como , onde . Pierre Laurent Wantzel provou posteriormente, em 1836, que tal condição não só é suficiente, mas necessária.[3]

O teorema de Gauss-Wantzel possui um importante valor histórico por promover uma ligação entre análise complexa e geometria euclidiana, visto que implica na especificação de quais polígonos são construtíveis a partir de régua e compasso, problema milenar enfrentado pelos matemáticos desde a Grécia antiga. Nesse contexto, ele prova que o polígono de 17 lados, o heptadecágono, é construtível pelo número de lados ser um primo de Fermat, contrastando com polígonos menores como o heptágono e o eneágono, que não são construtíveis.

Referências

  1. Weisstein, Eric W. «de Moivre Number». MathWorld 
  2. de Araújo, Carlos César. «Raízes da Unidade». Matemática para Gregos & Troianos 
  3. Weisstein, Eric W. «Cyclotomic Equation». MathWorld 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]