Raiz da unidade

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Raízes quintas da unidade no plano complexo

Em matemática, as raízes n-ésimas da unidade, ou números de de Moivre, são todos os números complexos que resultam 1 quando são elevados a uma potencia dada n. Pode-se demonstrar que estão localizados no círculo unitário do plano complexo e que nesse plano formam os vértices de um polígono regular de n lados com um vértice sobre 1.

Uma raiz n-ésima da unidade é chamada de primitiva (ou seja, uma raiz primitiva n-ésima da unidade) quando ela não é também uma raiz m-ésima da unidade para m < n. Por exemplo, i é uma raiz quarta e raiz oitava da unidade, mas é apenas uma raiz quarta primitiva da unidade.

Definição[editar | editar código-fonte]

As raízes n-ésimas da unidade são todos os números complexos, raízes do polinômio , que pelo teorema fundamental da álgebra tem

raízes. Uma delas, é a própria unidade, porque . As demais, são da forma

para . Então as raízes cúbicas da unidade (ou seja, ) são: e , gerando os números .

Soma das raízes[editar | editar código-fonte]

A soma das raízes da unidade é igual a , . Uma maneira de provar isso, é utilizando a soma de uma progressão geométrica.

Outra maneira de provar, é considerar as relações de Girard. Observando o polinômio , é fácil notar que a soma das raízes é igual a .

Referências[editar | editar código-fonte]