Triângulo retângulo

Na geometria, o Triângulo Retângulo é um retângulo que possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos. É uma figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas volumes e no cálculo algébrico. Se souberem 2 lados ou 1 ângulo agudo e 1 lado do Triângulo Retângulo, não é difícil descobrir os outros lados e ângulos. A área do Triângulo Retângulo é dada pela metade do produto dos menores lados.

Elementos do Triângulo Retângulo

Elementos de um triângulo retângulo. Os pontos A, B e C, os lados opostos a (hipotenusa), b e c (catetos) e as projeções de b e c, m e n.

Um Triângulo retângulo é composto por 4 principais elementos; são eles: Catetos, Hipotenusa, Altura relativa à hipotenusa e Projeções dos Catetos.

Catetos

Os catetos são os menores lados do Triângulo Retângulo. Eles formam o ângulo de 90°.

Unidades de medida de arcos:

A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.

Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.

Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.

Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.

Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, fazemos,

m(AB)= comprimento do arco(AB)

---

comprimento do raio = 12

---

8

Portanto m(AB)=1,5 radianos

Projeções dos Catetos

A altura relativa à hipotenusa divide-a em duas partes, denominadas projeções dos catetos.

Relações Métricas do Triângulo Retângulo

As Relações Métricas do Triângulo Retângulo são 4, sabendo que os 3 triângulos formados são retângulos e semelhantes.

• A hipotenusa é igual à soma das projeções.

$a=m+n\,\!$

Por semelhança de triângulos, temos que:

• O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos.

${\frac {h}{m}}={\frac {n}{h}}\Rightarrow h^{2}=mn\,\!$

• O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a sua projeção(que se encontra do seu lado) e a hipotenusa.

${\frac {b}{a}}={\frac {m}{b}}\Rightarrow b^{2}=am\,\$

${\frac {c}{a}}={\frac {n}{c}}\Rightarrow c^{2}=an\,\$

• O produto entre a hipotenusa e a altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos.

${\frac {a}{c}}={\frac {b}{h}}\Rightarrow ah=bc\,\$

.

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras diz que "A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa!" (b²+c²=a²).

Se somarmos as relações

$+\left\{{\begin{matrix}b^{2}=am\\c^{2}=an\end{matrix}}\right.\,\!$

$b^{2}+c^{2}=am+an\,\!$

$b^{2}+c^{2}=a(m+n)\,\!$

$b^{2}+c^{2}=aa\,\!$

$b^{2}+c^{2}=a^{2}\,\!$

Relações Trigonométricas do Triângulo Retângulo

Outra maneira de saber os lados de um Triângulo Retângulo, é através do ângulo, usando a Trigonometria - Lado, Lado, Ângulo -. As principais relações Trigonométricas são: Seno, Cosseno e Tangente. Há outras 3: Cotangente, Secante e Cossecante.

Seno de um ângulo

É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem:

${\mbox{sen }}A={{\mbox{cateto oposto}} \over {\mbox{hipotenusa}}}$

a função seno é importante para outras relações,como o teorema dos senos

Cosseno de um ângulo

Cosseno: É a razão entre a medida do cateto e a medida da hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem::

$\cos A={{\mbox{cateto adjacente}} \over {\mbox{hipotenusa}}}$

Tangente de um ângulo

É dado pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:

${\mbox{tg }}A={{\mbox{sen }}A \over \cos A}={{\mbox{cateto oposto}} \over {\mbox{cateto adjacente}}}$

Cotangente de um ângulo

É dado pela razão entre o Cosseno e o Seno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:

${\mbox{cotg }}A={\cos A \over {\mbox{sen }}A}={{\mbox{cateto adjacente}} \over {\mbox{cateto oposto}}}$

Secante de um ângulo

É dado pelo inverso do cosseno desse ângulo ou entre os lados que formam o próprio ângulo, dado na seguinte ordem:

$\sec A={1 \over \cos A}={{\mbox{hipotenusa}} \over {\mbox{cateto adjacente}}}$

Cossecante de um ângulo

É dado pelo inverso do seno desse ângulo ou entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado na seguinte ordem:

${\mbox{cossec }}A={1 \over {\mbox{sen }}A}={{\mbox{hipotenusa}} \over {\mbox{cateto oposto}}}$

Ângulos Notáveis

Triângulos retângulos exatos

São aqueles que todos os lados são diferentes dos que formam um terno pitagórico. hipotenusa, cateto, cateto

Circunferência inscrita num triângulo retângulo

O diâmetro (d) de uma circunferência inscrita num triângulo rectângulo (a b c) é igual à soma dos catetos, menos a hipotenusa, representado pela seguinte fórmula:

$a+b=c+d$

• $a=$ cateto
• $b=$ cateto
• $c=$ hipotenusa
• $r=$ raio da circunferência inscrita
• $d=$ diâmetro da circunferência inscrita

$\left\{{\begin{matrix}a=x+r\Rightarrow x=a-r\,\left(I\right)\\b=y+r\Rightarrow y=b-r\,\left(II\right)\\c=x+y\,\left(III\right)\end{matrix}}\right.$

Substituindo I e II em III, teremos

$c=a-r+b-r\Rightarrow c=a+b-2r\Rightarrow c+2r=a+b$

Como $d=2r\Rightarrow c+d=a+b$ cqd

Ver também

• Triângulo
• Teorema de Pitágoras
• Trigonometria

Ligações externas

• Matemática Essencial: Trigonometria do Triângulo Retângulo