Variedade complexa

Em geometria diferencial e topologia , uma variedade complexa é definido de maneira que cada vizinhança possua uma correspondencia a um n-espaço complexo atraves de uma mudança ou sistema de coordenadas analiticas .ou seja, Mais precisamente, uma variedade complexa tem um atlas suave de cartas para o disco unitario aberto ^[1] em $\mathbf {C} ^{n}$ , tais que a mudança de coordenadas entre cartas seja holomórfica.

O termo variedade complexa geralmente e utlizado para representar uma variedade definida como acima (o qual pode ser especificado como uma variedade complexa integrável), e uma estrutura quase complexa, como discutida abaixo.

Implicações da estrutura complexa[editar | editar código-fonte]

Dado que funções analíticas complexas são muito mais rígidas que as funções de classe $C$ ^∞, as teorias de variedades $C$ ^∞ e complexas têm aspectos muito diferentes: variedades complexas compactas são muito mais próximas a variedades algébricas que as variedades diferenciáveis.

Por exemplo, o teorema da imersão de Whitney nos diz que cada variedade $C$ ^∞ pode ser imersa como uma subvariedade de R $^{n}$ , aonde é "raro" para uma variedade complexa ter uma imersão holomórfica em Cⁿ. Considera-se por exemplo qualquer compacto, variedade complexa conectada $M$ : qualquer função holomórfica sobre ele é constante localmente pelo teorema de Liouville. Agora se nós temos uma imersão holomórfica de M em Cⁿ, então as funções coordenadas de Cⁿ se restringirão às funções holomórficas não-contantes em M, contradizendo a compactação, exceto no caso que M é apenas um ponto. variedades complex que podem ser imersas em Cⁿ são chamadas distribuições de Stein e formam uma classe muito especial de variedades, incluindo, por exemplo, variedades algébricas complexas $C$ ^∞ refinadas.

A classificação de distribuições complexas é muito mais sutil que a de distribuições diferenciáveis. Por exemplo, enquanto em dimensões outra que não quatro, uma dada distribuição topológica tem mais finitas estruturas $C$ ^∞, uma distribuição topológica sustentando uma estrutura complexa pode e frequentemente o faz sustentar incontáveis estruturas complexas. superfícies de Riemann, distribuições bidimensionais munidas com uma estrutura complexa, as quais são topologicamente classificadas pelo gênero, são um importante exemplo deste fenõmeno. O conjunto de estruturas complexas sobre uma dada superfície orientada, equilalência biholomórfica em de módulo, em si forma uma variedade algébrica chamada um espaço de módulos, estrutura a qual é objeto de ativa pesquisa.

Desde que os mapas de transição entre cartas são biholomórficos, distribuições complexas são, em particular, $C$ ^∞ e canonicamente orientadas (não apenas orientáveis: um mapa biholomórfico a (um subconjunto de) $\mathbf {C} ^{n}$ dá uma orientação, como mapas biholomórficos são preservantes da orientação).

Exemplos de variedades complexas[editar | editar código-fonte]

Superfícies de Riemann.
O produto Cartesiano de duas variedades complexas.
A imagem inversa de qualquer valor não crítico de um mapa holomórfico.

Variedades algébricas complexas lisas[editar | editar código-fonte]

Variedades algébricas complexas lisas são estruturas complexas, incluindo:

Espaços vetoriais complexos.
Espaços complexos projetivos^[2], $\mathbb {CP} ^{n}$ .
Grassmannianos complexos.
Grupos de Lie complexos, tais como GL(n,C) ou Sp(n,C).

Similarmente, os quaterniônicos análogos destes são também estruturas complexas.

Simplesmente conectadas[editar | editar código-fonte]

As estruturas simplesmente conectadas 1-dimensionais complexas são:

$\Delta$ , o disco unidade em $\mathbb {C}$
$\mathbb {C}$ , o plano complexo
${\hat {\mathbb {C} }}$ , a esfera de Riemann

Note-se que há inclusões entre estes como $\Delta \subset \mathbb {C} \subset {\hat {\mathbb {C} }}$ , mas que não há nenhum mapa não constante na outra direção, pelo teorema de Liouville.

Disco vs. Espaço vs. Polidisco[editar | editar código-fonte]

Os seguintes espaços são diferentes do ponto de vista das suas estruturas complexas, mostrando que a geometria e mais rígida que a característica das suas propias estruturas complexas (comparadas a estruturas lisas):

o disco unitario ou bola aberta, $\{z\in \mathbb {C} ^{n}\mid \lVert z\rVert <1\}$
palno complexo $\mathbb {C} ^{n}$
o polidisco $\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in {\mathbb {C} }^{n}\mid \vert z_{i}\vert <1,{\mbox{ para todo }}i=1,\dots ,n\}$

Notas[editar | editar código-fonte]

↑ Um deve usar o disco unidade aberto em $\mathbf {C} ^{n}$ como o espaço modelo em vez de $\mathbf {C} ^{n}$ porque não são isomórficos, diferentemente de variedades reais.
↑ Isto significa que todos os espaço projetivos complexos são orientáveis, em contraste com o caso real

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[1] Um deve usar o disco unidade aberto em $\mathbf {C} ^{n}$ como o espaço modelo em vez de $\mathbf {C} ^{n}$ porque não são isomórficos, diferentemente de variedades reais.

[2] Isto significa que todos os espaço projetivos complexos são orientáveis, em contraste com o caso real

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