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Revisão das 15h22min de 5 de setembro de 2011

Os Problemas de Landau são quatro conhecidos problemas sobre os números primos, que Edmund Landau catalogou como "inatacáveis no estado atual da ciência" durante o Congresso Internacional de Matemáticos de 1912.

Os quatro problemas são os seguintes:

A conjectura de Goldbach: Todo número par maior que 2 pode ser expresso como a soma de dois números primos ?
A conjectura dos números primos gêmeos: Há infinitos números primos p tais que (p+2) também é um número primo ?
A conjectura de Legendre: Sempre existe um número primo entre dois quadrados perfeitos ?
A conjectura de que há infinitos números primos p tais que (p-1) é um quadrado perfeito. Dizendo de outra forma, há infinitos números primos da forma $n^{2}+1$ ?

Até 2011, nenhum desses problemas foi resolvido.

Progresso

Conjectura de Goldbach

O Teorema de Vinográdov demostra a conjectura fraca de Goldbach para os n suficientemente grandes. Deshouillers,Effinger, Te Riele e Zinaviev demostraram a conjetura fraca de forma condicionada à hipótese generalizada de Riemann^[1] .Sabe se que a conjetura fraca se cumpre para todo n fora do intervalo $(10^{20},e^{3100})$ ^[1]^[2]

O teorema de Chen demostra que para todos os n suficientemente grandes, $2n=p+q$ onde p é primo e q é primo ou semiprimo. Montgomery e Vaughan demostraram que o conjunto excepcional dos números pares que não podem ser expressos como soma de dois primos tem densidade zero. ^[3]

Conjectura dos primos gêmeos

Goldston, Pintz e Yıldırım demostraram que a diferença entre dois números primos consecutivos pode ser muito menor que a diferença média entre dois primos consecutivos:

\liminf {\frac {p_{n+1}-p_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .

^[4]

Anteriormente, demostraram condicionalmente,sobreconjetura de Elliott-Halberstam, uma versão mais fraca da conjectura dos números primos gêmeos em que há um número infinito de primos p tais que $\pi (p+20)-\pi (p)\geq 1$ . Onde $\pi (x)$ é a função de contagem de números primos. A conjectura dos primos gêmeos substitui o 20 da expressão por 2.^[5]

Chen demostrou que existem infinitos primos p ( que posteriormente ficaram conhecidos como primos de Chen ) tais que p + 2 é primo ou semiprimo.

Conjectura de Legendre

É suficiente mostrar que cada número primo p, a diferença com o próximo primo é menor que $2{\sqrt {p}}$ . Uma tabela de diferenças máximas entre os primos consecutivos mostra que a conjetura se verifica até 10¹⁸ ^[6]. Um contra exemplo próximo a 10¹⁸ requeriria uma diferença de cinquenta milhões de vezes maior que a diferencia média entre um primo e o seguinte de.

Um resultado de Ingham mostra que existe um número primo entre $n^{3}$ e $(n+1)^{3}$ para cada n suficientemente grande..^[7]

Primos da forma $n^{2}+1$

O teorema de Friedlander-Iwaniec mostra que há infinitos números primos da forma $x^{2}+y^{4}$ . Iwaniec também mostrou que existem infinitos números da forma $n^{2}+1$ com no máximo dois fatores primos.^[8]

Referências

↑ ^a ^b Deshouillers, Effinger, Te Riele and Zinoviev, "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society 3, pp. 99-104 (1997).
↑ Liu, M. C.; Wang, T. Z. (2002). «On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture». Acta Arithmetica. 105: 133–175. doi:10.4064/aa105-2-3
↑ Montgomery, H. L.; Vaughan, R. C. (1975). «The exceptional set in Goldbach's problem» (PDF). Acta Arithmetica. 27: 353–370
↑ Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz and Cem Yalçın Yıldırım, Primes in tuples. II. Preprint.
↑ Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz and Cem Yalçın Yıldırım, Small Gaps between Primes Exist. Proceedings of the Japan Academy, Series A Mathematical Sciences 82 4 (2006), pp. 61-65.
↑ Jens Kruse Andersen, Maximal Prime Gaps
↑ Ingham, A. E. (1937). «On the difference between consecutive primes». Quarterly Journal of Mathematics Oxford. 8 (1): 255–266. doi:10.1093/qmath/os-8.1.255
↑ Iwaniec, H. (1978). «Almost-primes represented by quadratic polynomials». Inventiones Mathematicae. 47 (2): 178–188. doi:10.1007/BF01578070

Ligações Externas

Weisstein, Eric W. "Landau's Problems." MathWorld (en inglês)

[DETZ97-1] Deshouillers, Effinger, Te Riele and Zinoviev, "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society 3, pp. 99-104 (1997).

[2] Liu, M. C.; Wang, T. Z. (2002). «On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture». Acta Arithmetica. 105: 133–175. doi:10.4064/aa105-2-3

[3] Montgomery, H. L.; Vaughan, R. C. (1975). «The exceptional set in Goldbach's problem» (PDF). Acta Arithmetica. 27: 353–370

[4] Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz and Cem Yalçın Yıldırım, Primes in tuples. II. Preprint.

[5] Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz and Cem Yalçın Yıldırım, Small Gaps between Primes Exist. Proceedings of the Japan Academy, Series A Mathematical Sciences 82 4 (2006), pp. 61-65.

[6] Jens Kruse Andersen, Maximal Prime Gaps

[7] Ingham, A. E. (1937). «On the difference between consecutive primes». Quarterly Journal of Mathematics Oxford. 8 (1): 255–266. doi:10.1093/qmath/os-8.1.255

[8] Iwaniec, H. (1978). «Almost-primes represented by quadratic polynomials». Inventiones Mathematicae. 47 (2): 178–188. doi:10.1007/BF01578070

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 == Progresso ==
 === Conjectura de Goldbach ===
-O [[Teorema de Vinográdov]] demostra a [[ conjectura fraca de Goldbach]] para os ''n'' suficientemente grandes. Deshouillers,Effinger, Te Riele e Zinaviev demostraram a conjetura fraca de forma condicionada à [[hipótese generalizada de Riemann]].Sabe se que a conjetura fraca se cumpre para todo ''n'' fora do intervalo <math>(10^{20}, e^{3100})</math>
+O [[Teorema de Vinográdov]] demostra a [[ conjectura fraca de Goldbach]] para os ''n'' suficientemente grandes. Deshouillers,Effinger, Te Riele e Zinaviev demostraram a conjetura fraca de forma condicionada à [[hipótese generalizada de Riemann]]<ref name="DETZ97">Deshouillers, Effinger, Te Riele and Zinoviev, "[http://www.ams.org/era/1997-03-15/S1079-6762-97-00031-0/S1079-6762-97-00031-0.pdf A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis]", ''Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society'' '''3''', pp. 99-104 (1997).</ref> .Sabe se que a conjetura fraca se cumpre para todo ''n'' fora do intervalo <math>(10^{20}, e^{3100})</math><ref name="DETZ97" /><ref>{{cite journal |first=M. C. |last=Liu |first2=T. Z. |last2=Wang |title=On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture |journal=[[Acta Arithmetica]] |volume=105 |issue= |year=2002 |pages=133–175 |doi=10.4064/aa105-2-3 }}</ref>
-O [[teorema de Chen]] demostra que para todos os ''n'' suficientemente grandes, <math>2n=p+q</math> onde ''p'' é primo e ''q'' é primo ou [[Número semiprimo|semiprimo]]. [[Hugh Montgomery|Montgomery]] e [[Robert Charles Vaughan|Vaughan]] demostraram que o [[conjunto excepcional]] dos números pares que não podem ser expressos como soma de dois primos tem [[densidade natural|densidade]] zero.
+O [[teorema de Chen]] demostra que para todos os ''n'' suficientemente grandes, <math>2n=p+q</math> onde ''p'' é primo e ''q'' é primo ou [[Número semiprimo|semiprimo]]. [[Hugh Montgomery|Montgomery]] e [[Robert Charles Vaughan|Vaughan]] demostraram que o [[conjunto excepcional]] dos números pares que não podem ser expressos como soma de dois primos tem [[densidade natural|densidade]] zero. <ref>{{cite journal |first=H. L. |last=Montgomery |last2=Vaughan |first2=R. C. |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa27/aa27126.pdf |title=The exceptional set in Goldbach's problem |journal=Acta Arithmetica |volume=27 |issue= |year=1975 |pages=353–370 |doi= }}</ref>
 === Conjectura dos primos gêmeos ===
 [[Daniel Goldston|Goldston]], [[János Pintz|Pintz]] e [[Cem Yıldırım|Yıldırım]] demostraram que a diferença entre dois números primos consecutivos pode ser muito menor que a diferença média entre dois primos consecutivos:
-:<math>\liminf\frac{p_{n+1}-p_n}{\sqrt{\log p_n}(\log\log p_n)^2}<\infty.</math>
+:<math>\liminf\frac{p_{n+1}-p_n}{\sqrt{\log p_n}(\log\log p_n)^2}<\infty.</math><ref>Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz and Cem Yalçın Yıldırım, [http://xxx.lanl.gov/pdf/0710.2728 Primes in tuples. II]. Preprint.</ref>
-Anteriormente, demostraram condicionalmente,sobre[[conjetura de Elliott-Halberstam]], uma versão mais fraca da conjectura dos números primos gêmeos em que há um número infinito de primos ''p'' tais que <math>\pi(p+20)-\pi(p)\ge1</math>. Onde <math>\pi(x)</math> é a [[função de contagem de números primos]]. A conjectura dos primos gêmeos substitui o 20 da expressão por 2.
+Anteriormente, demostraram condicionalmente,sobre[[conjetura de Elliott-Halberstam]], uma versão mais fraca da conjectura dos números primos gêmeos em que há um número infinito de primos ''p'' tais que <math>\pi(p+20)-\pi(p)\ge1</math>. Onde <math>\pi(x)</math> é a [[função de contagem de números primos]]. A conjectura dos primos gêmeos substitui o 20 da expressão por 2.<ref>Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz and Cem Yalçın Yıldırım, [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pja/1146576181 Small Gaps between Primes Exist]. '' Proceedings of the Japan Academy, Series A Mathematical Sciences'' '''82''' 4 (2006), pp. 61-65.</ref>
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 === Conjectura de Legendre ===
-É suficiente mostrar que cada número primo ''p'', a diferença com o próximo primo é menor que  <math>2\sqrt p</math>. Uma tabela de diferenças máximas entre os primos consecutivos mostra que a conjetura se verifica até 10<sup>18</sup>. Um contra exemplo próximo a 10<sup>18</sup> requeriria uma diferença de cinquenta milhões de vezes maior que a diferencia média entre um primo e o seguinte de.
+É suficiente mostrar que cada número primo ''p'', a diferença com o próximo primo é menor que  <math>2\sqrt p</math>. Uma tabela de diferenças máximas entre os primos consecutivos mostra que a conjetura se verifica até 10<sup>18</sup> <ref>Jens Kruse Andersen, [http://users.cybercity.dk/~dsl522332/math/primegaps/maximal.htm Maximal Prime Gaps]</ref>. Um contra exemplo próximo a 10<sup>18</sup> requeriria uma diferença de cinquenta milhões de vezes maior que a diferencia média entre um primo e o seguinte de.
+Um resultado de [[Albert Ingham|Ingham]] mostra que existe um número primo entre <math>n^3</math> e  <math>(n+1)^3</math> para cada ''n'' suficientemente grande..<ref>{{cite journal |first=A. E. |last=Ingham |title=On the difference between consecutive primes |journal=Quarterly Journal of Mathematics Oxford |volume=8 |year=1937 |issue=1 |pages=255–266 |doi=10.1093/qmath/os-8.1.255 }}</ref>
-Um resultado de [[Albert Ingham|Ingham]] mostra que existe um número primo entre <math>n^3</math> e  <math>(n+1)^3</math> para cada ''n'' suficientemente grande.
 === Primos da forma <math>n^2+1</math> ===
-O [[teorema de Friedlander-Iwaniec]] mostra que há infinitos números primos da forma <math>x^2+y^4</math>. Iwaniec também mostrou que existem infinitos números da forma <math>n^2+1</math> com no máximo dois fatores primos.
+O [[teorema de Friedlander-Iwaniec]] mostra que há infinitos números primos da forma <math>x^2+y^4</math>. Iwaniec também mostrou que existem infinitos números da forma <math>n^2+1</math> com no máximo dois fatores primos.<ref>{{cite journal |first=H. |last=Iwaniec|title=Almost-primes represented by quadratic polynomials|journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=47 |issue=2 |year=1978|pages=178–188 |doi=10.1007/BF01578070 }}</ref>
+{{referências}}
-== Referências ==
+== Ligações Externas ==
 * Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/LandausProblems.html "Landau's Problems." MathWorld] (en inglês)
 [[ca:Problemes de Landau]]
+[[es:Problemas de Landau]]
 [[da:Landaus problemer]]
 [[en:Landau's problems]]