Conjectura de Collatz

A sequência de Collatz começando em 127.

A conjectura de Collatz é devida ao matemático alemão Lothar Collatz e também é conhecida como problema 3n + 1. A conjectura apresenta uma regra dizendo que, qualquer número natural, quando aplicado a esta conjectura, no fim dará sempre 1. A conjectura aplica-se a qualquer número natural, e diz-nos para, se este número for par, o dividir por 2 (/2), e se for impar, para multiplicar por 3 e adicionar 1 (*3+1). Desta forma, por exemplo, se a sequência iniciar com o número 5 ter-se-á: 5; 16; 8; 4; 2; 1. Interrompendo o procedimento no número 1 a pergunta que se faz é: qualquer que seja o número natural inicial a sequência findará em 1?

O matemático alemão Gerhard Opfer publicou em maio de 2011 um artigo que alegava provar a conjectura, causando alvoroço na comunidade matemática. . Em 17 de julho do de 2011, entretanto, o autor publicou uma nota, na última página de seu artigo, onde reconhecia que uma de suas afirmações estava incompleta, o que não garantia a ele a prova do problema.

Considere a seguinte operação em um número inteiro positivo arbitrário qual que:

• Se o número for par, dividi-lo em dois.
• Se o número for ímpar, triplicar-lo e adicionar uma.

Em notação aritmética, a função f é definida tal que:

$f(n) = \begin{cases} n/2 &\text{if } n \equiv 0 \pmod{2}\\ 3n+1 & \text{if } n\equiv 1 \pmod{2} \end{cases}$