Teorema fundamental da aritmética: diferenças entre revisões

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Revisão das 18h26min de 8 de outubro de 2014

O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos maiores que 1^[1] podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores.

Este teorema foi exposto, pela primeira vez, no livro IX dos Elementos de Euclides.

Wikilivros

O wikilivro Teoria de números tem uma página sobre Teorema fundamental da aritmética

Demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética

Teorema

Seja $a>1$ um inteiro positivo. Então, existem primos positivos ${p_{1}}\leq {p_{2}}\leq {...}\leq {p_{t}}$ tais que $a=p_{1}p_{2}...p_{t},$ e essa decomposição é única.

Demonstração:

Existência de uma decomposição

Será usado para esta demonstração o Princípio de indução completa.

Para $a=2$ existe uma decomposição trivial em números primos, já que 2 é, ele próprio, um número primo. Suponhamos agora que existe uma decomposição para todo inteiro ${b},\ {2}\leq {b}<a.$ Mostraremos que também vale para $a.$

Se $a$ é primo, admite a decomposição trivial. Caso contrário, $a$ admite um divisor positivo $b$ tal que $1<b<a.$ Isto é, $a=bc,$ e temos também $1<c<a.$ Pela hipótese de indução, $b$ e $c$ podem ser escritos como produtos de primos, na forma $b=p_{1}...p_{s},$ $c=q_{1}...q_{k}.$

Substituindo, temos $a=p_{1}...p_{s}q_{1}...q_{k},$ e o resultado também vale para $a.$

Unicidade da decomposição

Dado um inteiro $a,$ ele poderia admitir, em princípio, mais de uma decomposição em produto de fatores primos. Será chamado comprimento de uma decomposição ao número de fatores que nela comparecem.

A demonstração será feita por indução no comprimento de uma decomposição de $a.$

Suponhamos que $a$ admita uma decomposição do tipo $a=p_{1},$ onde $p_{1}$ é primo, e que vale

$a=p_{1}=q_{1}q_{2}...q_{s},$

em que ${q_{1}}\leq {q_{2}}\leq {...}\leq {q_{s}}$ são primos positivos. Como $q_{1}$ divide $q_{1}q_{2}...q_{s},$ $q_{1}$ também divide $p_{1},$ que é primo. Então, devemos ter $p_{1}=q_{1}.$ Cancelando, vem $1=q_{2}...q_{s}.$ Se $s>1,$ teríamos que o primo $q_{2}$ seria invertível, uma contradição. Assim, $s=1$ e, como já provamos que $p_{1}=q_{1},$ o primeiro passo de indução está verificado.

Suponhamos agora o resultado verdadeiro para todo inteiro que admita uma decomposição de comprimento ${k}\geq {1},$ e seja $a$ um inteiro com uma decomposição de comprimento $k+1.$ Se $a$ admitisse outra decomposição, temos

$a=p_{1}...p_{k+1}=q_{1}...q_{s},$

em que ${q_{1}}\leq {q_{2}}\leq {...}\leq {q_{s}}$ são primos positivos.

Como na primeira parte, $q_{1}$ divide $p_{1}...p_{k+1}$ e temos que $q_{1}$ divide $p_{i},$ para algum $i$ (Lema de Euclides). Como $p_{i}$ é primo, devemos ter novamente que $q_{1}=p_{i}.$ Em particular, ${q_{1}}\geq {p_{1}}.$

De forma análoga, pode-se obter que $p_{1}=q_{j},$ para algum j. Logo, ${p_{1}}\geq {q_{1}}.$ De ambas as desigualdades, vem que $p_{1}=q_{1}.$ Finalmente, cancelando em $a=p_{1}...p_{k+1}=q_{1}...q_{s},$ temos que

$p_{2}...p_{k+1}=q_{2}...q_{s}.$

Agora, o primeiro membro da igualdade tem uma decomposição de comprimento $k,$ logo, da hipótese de indução, admite uma única decomposição. Assim, temos $k=s-1,$ donde $k+1=s$ e $p_{i}=q_{i},$ para $i=2,...,k+1.$ Como já provamos que $p_{1}=q_{1},$ ambas as expressões de $a$ coincidem.

Agrupando os primos eventualmente repetidos na decomposição de $a,$ podemos enunciar o teorema anterior de forma levemente diferente. Também podemos estendê-lo a números negativos.

Teorema Fundamental da Aritmética

Seja $a$ um inteiro diferente de 0, 1 e -1. Então, existem primos positivos $p_{1}<p_{2}<...<p_{r}$ e inteiros positivos $n_{1},n_{2},...,n_{r}$ tais que $a=\pm p_{1}^{n_{1}}...p_{r}^{n_{r}}.$ Além disso, essa decomposição é única.

Demonstração:

Temos que $a=\pm |a|,$ conforme $a$ seja positivo ou negativo. Como $|a|$ é positivo, do teorema anterior, temos que existem primos ${p_{1}}\leq {p_{2}}\leq {...}\leq {p_{t}}$ tais que

$a=\pm p_{1}p_{2}...p_{t}.$

Agrupando os primos eventualmente repetidos, podemos escrever

$a=\pm p_{1}^{n_{1}}...p_{r}^{n_{r}}.$

A unicidade segue diretamente do teorema anterior.

Está, portanto, demonstrado o Teorema Fundamental da Aritmética.

Ver também

Notas

↑ Utilizando produto vazios não é preciso excluir o número 1, e o teorema pode ser expresso como: todo inteiro positivo tem uma única fatoração como produto de primos.

Referências

Milies, Francisco César Polcino. Números: Uma Introdução à Matemática. 3 ed. São Paulo: Editora da USP, 2003.

[1] Utilizando produto vazios não é preciso excluir o número 1, e o teorema pode ser expresso como: todo inteiro positivo tem uma única fatoração como produto de primos.

[1]

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-O '''Teorema Fundamental da Aritmética''' sustenta que todos os [[Número inteiro|números inteiros]] [[positivo]]s maiores que [[um|1]] podem ser [[Fatoração|decompostos]] num produto de [[Número primo|números primos]], sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores.
+O '''Teorema Fundamental da Aritmética''' sustenta que todos os [[Número inteiro|números inteiros]] [[Número positivo|positivos]] maiores que [[um|1]]<ref>Utilizando [[produto vazio]]s não é preciso excluir o número 1, e o teorema pode ser expresso como: todo inteiro positivo tem uma única fatoração como produto de primos.</ref> podem ser [[Fatoração|decompostos]] num produto de [[Número primo|números primos]], sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores.
 Este [[teorema]] foi exposto, pela primeira vez, no livro IX dos [[Os elementos|Elementos]] de [[Euclides]].
-(RESUMO)
-'''Teorema fundamental da aritmética'''
-O teorema fundamental da aritmética diz que todos os números pertencentes ao conjunto dos inteiros, maiores que 1, podem ser decompostos em produto de números primos.
-''Exemplo:''
-= 3 x 5 x 2
-= 13 x 13
-= 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3
 {{Wikilivros|Teoria de números|Números primos#Teorema fundamental da aritmética|Teorema fundamental da aritmética}}
 == Demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética ==
 === Teorema ===
-''Seja <math>a>1\,\!</math> um inteiro positivo. Então, existem primos positivos <math>{p_1}\le{p_2}\le{...}\le{p_t}</math> tais que <math>a=p_1p_2...p_t\,\!</math>, e essa decomposição é única.''
+''Seja <math>a>1</math> um inteiro positivo. Então, existem primos positivos <math>{p_1}\le{p_2}\le{...}\le{p_t}</math> tais que <math>a=p_1p_2...p_t,</math> e essa decomposição é única.''
 '''Demonstração''':
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 Será usado para esta demonstração o [[Indução matemática|Princípio de indução completa]].
-Para <math>a=2\,\!</math> existe uma decomposição trivial em números primos, já que 2 é, ele próprio, um número primo. Suponhamos agora que existe uma decomposição para todo inteiro <math>{b},\ {2}\le{b}<a</math>. Mostraremos que também vale para <math>a\,\!</math>.
+Para <math>a=2</math> existe uma decomposição trivial em números primos, já que 2 é, ele próprio, um número primo. Suponhamos agora que existe uma decomposição para todo inteiro <math>{b},\ {2}\le{b}<a.</math> Mostraremos que também vale para <math>a.</math>
-Se <math>a\,\!</math> é primo, admite a decomposição trivial. Caso contrário, <math>a\,\!</math> admite um divisor positivo <math>b\,\!</math> tal que <math>1<b<a\,\!</math>. Isto é, <math>a=bc\,\!</math>, e temos também <math>1<c<a\,\!</math>. Pela hipótese de indução, <math>b\,\!</math> e <math>c\,\!</math> podem ser escritos como produtos de primos, na forma <math>b=p_1...p_s\,\!</math>, <math>c=q_1...q_k\,\!</math>.
+Se <math>a</math> é primo, admite a decomposição trivial. Caso contrário, <math>a</math> admite um divisor positivo <math>b</math> tal que <math>1<b<a.</math> Isto é, <math>a=bc,</math> e temos também <math>1<c<a.</math> Pela hipótese de indução, <math>b</math> e <math>c</math> podem ser escritos como produtos de primos, na forma <math>b=p_1...p_s,</math> <math>c=q_1...q_k.</math>
-Substituindo, temos <math>a=p_1...p_sq_1...q_k\,\!</math>, e o resultado também vale para <math>a\,\!</math>.
+Substituindo, temos <math>a=p_1...p_sq_1...q_k,</math> e o resultado também vale para <math>a.</math>
 '''Unicidade da decomposição'''
-Dado um inteiro <math>a\,\!</math>, ele poderia admitir, em princípio, mais de uma decomposição em produto de fatores primos. Será chamado ''comprimento de uma decomposição'' ao número de fatores que nela comparecem.
+Dado um inteiro <math>a,</math> ele poderia admitir, em princípio, mais de uma decomposição em produto de fatores primos. Será chamado ''comprimento de uma decomposição'' ao número de fatores que nela comparecem.
-A demonstração será feita por indução no comprimento de uma decomposição de <math>a\,\!</math>.
+A demonstração será feita por indução no comprimento de uma decomposição de <math>a.</math>
-Suponhamos que <math>a\,\!</math> admita uma decomposição do tipo <math>a=p_1\,\!</math>, onde <math>p_1\,\!</math> é primo, e que vale
+Suponhamos que <math>a</math> admita uma decomposição do tipo <math>a=p_1,</math> onde <math>p_1</math> é primo, e que vale
-<math>a=p_1=q_1q_2...q_s\,\!</math>,
+<math>a=p_1=q_1q_2...q_s,</math>
-em que <math>{q_1}\le{q_2}\le{...}\le{q_s}</math> são primos positivos. Como <math>q_1\,\!</math> divide <math>q_1q_2...q_s\,\!</math>, <math>q_1\,\!</math> também divide <math>p_1\,\!</math>, que é primo. Então, devemos ter <math>p_1=q_1\,\!</math>. Cancelando, vem <math>1=q_2...q_s\,\!</math>. Se <math>s>1\,\!</math>, teríamos que o primo <math>q_2\,\!</math> seria invertível, uma contradição. Assim, <math>s=1\,\!</math> e, como já provamos que <math>p_1=q_1\,\!</math>, o primeiro passo de indução está verificado.
+em que <math>{q_1}\le{q_2}\le{...}\le{q_s}</math> são primos positivos. Como <math>q_1</math> divide <math>q_1q_2...q_s,</math> <math>q_1</math> também divide <math>p_1,</math> que é primo. Então, devemos ter <math>p_1=q_1.</math> Cancelando, vem <math>1=q_2...q_s.</math> Se <math>s>1,</math> teríamos que o primo <math>q_2</math> seria invertível, uma contradição. Assim, <math>s=1</math> e, como já provamos que <math>p_1=q_1,</math> o primeiro passo de indução está verificado.
-Suponhamos agora o resultado verdadeiro para todo inteiro que admita uma decomposição de comprimento <math>{k}\ge{1}</math>, e seja <math>a\,\!</math> um inteiro com uma decomposição  de comprimento <math>k+1\,\!</math>. Se <math>a\,\!</math> admitisse outra decomposição, temos
+Suponhamos agora o resultado verdadeiro para todo inteiro que admita uma decomposição de comprimento <math>{k}\ge{1},</math> e seja <math>a</math> um inteiro com uma decomposição  de comprimento <math>k+1.</math> Se <math>a</math> admitisse outra decomposição, temos
-<math>a=p_1...p_{k+1}=q_1...q_s\,\!</math>,
+<math>a=p_1...p_{k+1}=q_1...q_s,</math>
 em que <math>{q_1}\le{q_2}\le{...}\le{q_s}</math> são primos positivos.
-Como na primeira parte, <math>q_1\,\!</math> divide <math>p_1...p_{k+1}\,\!</math> e temos que <math>q_1\,\!</math> divide <math>p_i\,\!</math>, para algum <math>i\,\!</math> ([[Lema de Euclides]]). Como <math>p_i\,\!</math> é primo, devemos ter novamente que <math>q_1=p_i\,\!</math>. Em particular, <math>{q_1}\ge{p_1}</math>.
+Como na primeira parte, <math>q_1</math> divide <math>p_1...p_{k+1}</math> e temos que <math>q_1</math> divide <math>p_i,</math> para algum <math>i</math> ([[Lema de Euclides]]). Como <math>p_i</math> é primo, devemos ter novamente que <math>q_1=p_i.</math> Em particular, <math>{q_1}\ge{p_1}.</math>
-De forma [[Analogia|análoga]], pode-se obter que <math>p_1=q_j\,\!</math>, para algum j. Logo, <math>{p_1}\ge{q_1}</math>. De ambas as desigualdades, vem que <math>p_1=q_1\,\!</math>. Finalmente, cancelando em <math>a=p_1...p_{k+1}=q_1...q_s\,\!</math>, temos que
+De forma [[Analogia|análoga]], pode-se obter que <math>p_1=q_j,</math> para algum j. Logo, <math>{p_1}\ge{q_1}.</math> De ambas as desigualdades, vem que <math>p_1=q_1.</math> Finalmente, cancelando em <math>a=p_1...p_{k+1}=q_1...q_s,</math> temos que
-<math>p_2...p_{k+1}=q_2...q_s\,\!</math>.
+<math>p_2...p_{k+1}=q_2...q_s.</math>
-Agora, o primeiro membro da igualdade tem uma decomposição de comprimento <math>k\,\!</math>, logo, da hipótese de indução, admite uma única decomposição. Assim, temos <math>k=s-1\,\!</math>, donde <math>k+1=s\,\!</math> e <math>p_i=q_i\,\!</math>, para <math>i=2,...,k+1\,\!</math>. Como já provamos que <math>p_1=q_1\,\!</math>, ambas as expressões de <math>a\,\!</math> coincidem.
+Agora, o primeiro membro da igualdade tem uma decomposição de comprimento <math>k,</math> logo, da hipótese de indução, admite uma única decomposição. Assim, temos <math>k=s-1,</math> donde <math>k+1=s</math> e <math>p_i=q_i,</math> para <math>i=2,...,k+1.</math> Como já provamos que <math>p_1=q_1,</math> ambas as expressões de <math>a</math> coincidem.
-Agrupando os primos eventualmente repetidos na decomposição de <math>a\,\!</math>, podemos enunciar o teorema anterior de forma levemente diferente. Também podemos estendê-lo a [[Negativo|números negativos]].
+Agrupando os primos eventualmente repetidos na decomposição de <math>a,</math> podemos enunciar o teorema anterior de forma levemente diferente. Também podemos estendê-lo a [[Número negativo|números negativos]].
 === Teorema Fundamental da Aritmética ===
-''Seja <math>a\,\!</math> um inteiro diferente de 0, 1 e -1. Então, existem primos positivos <math>p_1<p_2<...<p_r\,\!</math> e inteiros positivos <math>n_1, n_2, ..., n_r\,\!</math> tais que <math>\,\!a=\pm p_1^{n_1}...p_r^{n_r}</math>. Além disso, essa decomposição é única.''
+''Seja <math>a</math> um inteiro diferente de 0, 1 e -1. Então, existem primos positivos <math>p_1<p_2<...<p_r</math> e inteiros positivos <math>n_1, n_2, ..., n_r</math> tais que <math>a=\pm p_1^{n_1}...p_r^{n_r}.</math> Além disso, essa decomposição é única.''
 '''Demonstração:'''
-Temos que <math>a=\pm|a|\,\!</math>, conforme <math>a\,\!</math> seja positivo ou negativo. Como <math>|a|\,\!</math> é positivo, do teorema anterior, temos que existem primos <math>{p_1}\le{p_2}\le{...}\le{p_t}</math> tais que
+Temos que <math>a=\pm|a|,</math> conforme <math>a</math> seja positivo ou negativo. Como <math>|a|</math> é positivo, do teorema anterior, temos que existem primos <math>{p_1}\le{p_2}\le{...}\le{p_t}</math> tais que
-<math>a=\pm p_1p_2...p_t\,\!</math>.
+<math>a=\pm p_1p_2...p_t.</math>
 Agrupando os primos eventualmente repetidos, podemos escrever
-<math>a=\pm p_1^{n_1}...p_r^{n_r}\,\!</math>.
+<math>a=\pm p_1^{n_1}...p_r^{n_r}.</math>
 A unicidade segue diretamente do teorema anterior.
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 Está, portanto, demonstrado o Teorema Fundamental da Aritmética.
-==Ver também==
+== Ver também ==
-*[[Teoria dos números]]
+* [[Teoria dos números]]
-*[[Número primo]]
+* [[Número primo]]
-==Referências==
+== Notas ==
+<references/>
-*Milies, Francisco César Polcino. '''Números: Uma Introdução à Matemática'''. 3 ed. [[São Paulo]]: Editora da [[Universidade de São Paulo|USP]], [[2003]].
+==Referências==
+* Milies, Francisco César Polcino. '''Números: Uma Introdução à Matemática'''. 3 ed. [[São Paulo]]: Editora da [[Universidade de São Paulo|USP]], [[2003]].
 {{Teoremas fundamentais}}