Inequação-produto

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Inequação-produto é toda inequação na qual há um produto de termos. Note que o produto deve ser comparado à zero, para que seja possível avaliar os sinais dos fatores. A inequação é da forma:

 \prod_{i=1}^{N} f_{i}(x) \star0

onde é necessário que haja o produto de pelo menos dois polinômios.

Exemplo:

(x-3)(x^2-4)\le0

Resolução[editar | editar código-fonte]

Há dois métodos principais de resolução da Inequação-Produto: o método de decomposição (método matemático) e o do Quadro de Sinais (método prático).

Decomposição[editar | editar código-fonte]

Decompõe-se o produto em seus valores possíveis, obtêm-se o Conjunto Solução de cada valor e acha-se o valor geral possível:

[f(x)][g(x)]>0 \Leftrightarrow (f(x)>0 \land g(x)>0) \lor (f(x)<0 \land g(x)<0) [f(x)][g(x)]<0 \Leftrightarrow (f(x)>0 \land g(x)<0) \lor (f(x)<0 \land g(x)>0)

etc...

Note que \land é o e lógico, equivalente à Interseção e que \lor é o ou lógico, equivalente à União.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

(x-2)(2x-3)>0

(x-2)>0 \land (2x-3)>0
x-2>0 \Leftrightarrow x>2 \Leftrightarrow S_1
2x-3>0 \Leftrightarrow 2x>3 \Leftrightarrow x>\frac{3}{2} \Leftrightarrow S_2
S_1 \cap S_2 \Leftrightarrow x>2 \land x>\frac{3}{2} \Leftrightarrow x>2 \Leftrightarrow S_3
(x-2)<0 \land (2x-3)<0
x-2<0 \Leftrightarrow x<2 \Leftrightarrow S_4
2x-3<0 \Leftrightarrow 2x<3 \Leftrightarrow x<\frac{3}{2} \Leftrightarrow S_5
S_4 \cap S_5 \Leftrightarrow x<2 \land x<\frac{3}{2} \Leftrightarrow x<\frac{3}{2} \Leftrightarrow S_6
S_3 \cup S_6 \Leftrightarrow x>2 \lor x<\frac{3}{2} \Leftrightarrow S

Quadro de Sinais[editar | editar código-fonte]

Imagem representando a disposição dos fatores e das raízes no Quadro de Sinais.

Passos para a resolução da inequação-produto pelo quadro se sinais:

1º) Obtêm-se o valor das raízes de cada fator da inequação-produto, igualando-os a zero.
2º) Após isso, estuda-se o sinal de cada fator.
3º) Então, faz-se um quadro de sinais, como mostrado na imagem, sendo r_1 a raiz de f(x) e r_2 a raiz de g(x).
4º) O quadro determina o sinal de cada fator, dependendo do x, para cada fator e, posteriormente, do próprio produto, utilizando as regras de intervalos reais.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Resolução da Inequação-Produto (x-3)(7-x)\ge0.

(x-3)(7-x)\ge 0 \Leftrightarrow 3\le x\le 7\Leftrightarrow S

Observando a imagem, concluimos que o trecho em que o produto assume valor positivo é aquele que compreende os valores de x entre 3 e 7.


Outras inequações-produto[editar | editar código-fonte]

É possível, na verdade, observar inequações-produto sem fatores que sejam resumidos à inequações do 1º grau ou que tenham mais de dois fatores. Sua resolução, todavia, apesar de usar os métodos descritos, requisita outros conhecimentos:

(x^3-2x^2+5)[log_x(x-1)](\sqrt{2^x-x^2})<0

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • MURAKAMI, Gelson Iezzi Carlos. "Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 1". 8ª Edição. São Paulo: Atual, 2004. ISBN 85-357-0455-8

Ver também[editar | editar código-fonte]

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