Inequação-quociente

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Inequação-quociente é toda inequação na qual há um quociente de termos. Note que o quociente deve ser comparado à zero, para que seja possível avaliar os sinais dos fatores. Por ser quociente, os termos do denominador não podem assumir o valor de 0. A inequação é da forma:

 \frac{\prod_{i=1}^{p} P_{i}(x)}{\prod_{i=1}^{q} Q_{i}(x)} \star0, onde P_{i}(x) e Q_{i}(x) são polinômios.

Exemplo:

\frac{(x-3)}{(x^2-4)}>0

Resolução[editar | editar código-fonte]

Há dois métodos principais de resolução da Inequação-Quociente: o método de decomposição (método matemático) e o do Quadro de Sinais (método prático).

Decomposição[editar | editar código-fonte]

Decompõe-se o produto em seus valores possíveis, obtêm-se o Conjunto Solução de cada valor e acha-se o valor geral possível:

\frac{[f(x)]}{[g(x)]}>0 \Leftrightarrow (f(x)>0 \land g(x)>0) \lor (f(x)<0 \land g(x)<0)
\frac{[f(x)]}{[g(x)]} \le0 \Leftrightarrow (f(x) \ge0 \land g(x)<0) \lor (f(x) \le0 \land g(x)>0)

etc...

Note que \land é o e lógico, equivalente à Interseção e que \lor é o ou lógico, equivalente à União.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

\frac{(x-2)}{(2x-3)} \ge0

(x-2) \ge0 \land (2x-3)>0
x-2 \ge0 \Leftrightarrow x \ge2 \Leftrightarrow S_1
2x-3>0 \Leftrightarrow 2x>3 \Leftrightarrow x>\frac{3}{2} \Leftrightarrow S_2
S_1 \cap S_2 \Leftrightarrow x \ge2 \land x>\frac{3}{2} \Leftrightarrow x \ge2 \Leftrightarrow S_3
(x-2)<0 \land (2x-3)<0
x-2 \le0 \Leftrightarrow x \le2 \Leftrightarrow S_4
2x-3<0 \Leftrightarrow 2x<3 \Leftrightarrow x<\frac{3}{2} \Leftrightarrow S_5
S_4 \cap S_5 \Leftrightarrow x \le2 \land x<\frac{3}{2} \Leftrightarrow x<\frac{3}{2} \Leftrightarrow S_6
S_3 \cup S_6 \Leftrightarrow x\ge 2 \lor x<\frac{3}{2} \Leftrightarrow S

Quadro de Sinais[editar | editar código-fonte]

Imagem representando a disposição dos fatores e das raízes no Quadro de Sinais.

Passos para a resolução da inequação-quociente pelo quadro se sinais:

1º) Obtêm-se o valor das raízes de cada fator da inequação-quociente, igualando-os a zero.
2º) Após isso, estuda-se o sinal de cada fator, considerando que o denominador não pode resultar em 0.
3º) Então, faz-se um quadro de sinais, como mostrado na imagem, sendo r_1 a raiz de f(x) e r_2 a raiz de g(x).
4º) O quadro determina o sinal de cada fator, dependendo do x, para cada fator e, posteriormente, do próprio quociente, utilizando as regras de intervalos reais.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Resolução da Inequação-Produto \frac{(x-3)}{(7-x)}\ge0.

\frac{(x-3)}{(7-x)}\ge 0 \Leftrightarrow 3\le x < 7\Leftrightarrow S

Observando a imagem, concluimos que o trecho em que o produto assume valor positivo é aquele que compreende os valores de x entre 3 e 7, desconsiderando o caso em que (7-x) é igual a 0.

Outras inequações-quociente[editar | editar código-fonte]

É possível, na verdade, observar inequações-quociente sem fatores que sejam resumidos à inequações do 1º grau ou que tenham mais de dois fatores. Sua resolução, todavia, apesar de usar os métodos descritos, requisita outros conhecimentos:

\frac{(x^3-2x^2+5)}{[log_x(x-1)](\sqrt{2^x-x^2})}<0

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • MURAKAMI, Gelson Iezzi Carlos. "Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 1". 8ª Edição. São Paulo: Atual, 2004. ISBN 85-357-0455-8

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.