Lema do Incentro-Exincentro

Em geometria, o lema do incentro-exincentro é o teorema de que o segmento de reta entre o incentro e qualquer exincentro de um triângulo, ou entre dois exincentros, é o diâmetro de uma circunferência (uma circunferência incentro-exincentro ou exincentro-exincentro) que passa por dois vértices do triângulo e que tem centro sobre a circunferência circunscrita.^[1]^[2]^[3] Este teorema é mais conhecido na Rússia, onde é chamado de teorema do trillium (теорема трилистника) ou lema do tridente (лемма о трезубце), baseado na semelhança da figura geométrica com uma flor de trillium ou com um tridente.^[4]^[5]

Essas relações derivam do fato do incentro e os exincentros de qualquer triângulo formarem um sistema ortocêntrico cujo círculo de nove pontos é o círculo circunscrito do triângulo original.^[6]^[2] O teorema é útil para resolver problemas competitivos de geometria euclidiana,^[1] e pode ser usado para reconstruir um triângulo a partir de um vértice, o incentro e o circuncentro.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja $ABC$ um triângulo qualquer. Seja $I$ o seu incentro e seja $D$ o ponto onde a reta $BI$ (a bissetriz interna de $∠ ABC$ ) cruza a circunferência circunscrita a $ABC$ . Então, o teorema afirma que $D$ é equidistante de $A$ , $C$ e de $I$ (isto é, dista o mesmo até esses três pontos). Equivalentemente:

A circunferência que passa por $A$ , $C$ e $I$ tem centro em $D$ . Em particular, isto implica que o centro desta circunferência fica sobre o círculo circunscrito.^[7]^[8]
Os três triângulos $AID$ , $CID$ e $ACD$ são isósceles, tendo $D$ como vértice comum aos lados de mesmo comprimento.

Um quarto ponto $E$ , o exincentro de $ABC$ com relação a $B$ , também está à mesma distância de $D$ , diametralmente oposto a $I$ .^[5]^[9]

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Pelo teorema do ângulo inscrito, $\angle IBA=\angle DCA,\ \angle IBC=\angle DAC.$

Já que $BI$ é uma bissetriz interna, $\angle DCA=\angle DAC\implies AD=CD.$

Também concluímos que

{\begin{aligned}\angle DIA&=180^{\circ }-\angle AIB\\&=180^{\circ }-(180^{\circ }-\angle IAB-\angle IBA)\\&=\angle IAB+\angle IBA\\&=\angle IAC+\angle DAC\\&=\angle IAD\\\implies AD&=DI.\end{aligned}}

Veja também[editar | editar código-fonte]

Teorema da Bissetriz Interna

Referências[editar | editar código-fonte]

↑ ^a ^b Chen, Evan (2016). «§1.4 The Incenter/Excenter Lemma». Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. [S.l.]: Mathematical Association of America. pp. 9–10. ISBN 9780883858394
↑ ^a ^b Le, Nguyen; Wildberger, Norman (2016). «Incenter Symmetry, Euler Lines, and Schiffler Points». KoG. 20 (20): 22–30
↑ Weisstein, Eric W. (1999). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. [S.l.]: CRC Press. "Excenter–Excenter Circle" p. 591, "Incenter–Excenter Circle" p. 894. ISBN 0849396409 Republished at MathWorld: "Excenter–Excenter Circle", "Incenter–Excenter Circle".
↑ Trillium theorem: И. А. Кушнир. «Это открытие - золотой ключ Леонарда Эйлера» (PDF) (em russo). Ф7 (Теорема трилистника), page 34; proof on page 36 Predefinição:Pb Trident lemma: Р. Н. Карасёв; В. Л. Дольников; И. И. Богданов; А. В. Акопян. «Задачи для школьного математического кружка» (PDF) (em russo). Problem 1.2. 4 páginas
↑ ^a ^b «6. Лемма о трезубце» (PDF) (em russo). СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова - школа им. А.Н. Колмогорова. 29 de outubro de 2014
↑ Johnson, Roger A. (1929). «X. Inscribed and Escribed Circles». Modern Geometry. [S.l.]: Houghton Mifflin. pp. 182–194
↑ Morris, Richard (1928), «Circles through notable points of the triangle», The Mathematics Teacher, 21 (2): 63–71, JSTOR 27951001, doi:10.5951/MT.21.2.0069 . See in particular the discussion on p. 65 of circles $BIC$ , $CIA$ , $AIB$ , and their centers.
↑ Bogomolny, Alexander. «A Property of Circle Through the Incenter». Cut-the-Knot. Consultado em 26 de janeiro de 2016
↑ Bogomolny, Alexander. «Midpoints of the Lines Joining In- and Excenters». Cut-the-Knot. Consultado em 26 de janeiro de 2016

[chen-1] Chen, Evan (2016). «§1.4 The Incenter/Excenter Lemma». Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. [S.l.]: Mathematical Association of America. pp. 9–10. ISBN 9780883858394

[lw-2] Le, Nguyen; Wildberger, Norman (2016). «Incenter Symmetry, Euler Lines, and Schiffler Points». KoG. 20 (20): 22–30

[weisstein-3] Weisstein, Eric W. (1999). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. [S.l.]: CRC Press. "Excenter–Excenter Circle" p. 591, "Incenter–Excenter Circle" p. 894. ISBN 0849396409 Republished at MathWorld: "Excenter–Excenter Circle", "Incenter–Excenter Circle".

[rusources-4] Trillium theorem: И. А. Кушнир. «Это открытие - золотой ключ Леонарда Эйлера» (PDF) (em russo). Ф7 (Теорема трилистника), page 34; proof on page 36 Predefinição:Pb Trident lemma: Р. Н. Карасёв; В. Л. Дольников; И. И. Богданов; А. В. Акопян. «Задачи для школьного математического кружка» (PDF) (em russo). Problem 1.2. 4 páginas

[mosolymp-5] «6. Лемма о трезубце» (PDF) (em russo). СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова - школа им. А.Н. Колмогорова. 29 de outubro de 2014

[johnson-6] Johnson, Roger A. (1929). «X. Inscribed and Escribed Circles». Modern Geometry. [S.l.]: Houghton Mifflin. pp. 182–194

[morris-7] Morris, Richard (1928), «Circles through notable points of the triangle», The Mathematics Teacher, 21 (2): 63–71, JSTOR 27951001, doi:10.5951/MT.21.2.0069 . See in particular the discussion on p. 65 of circles $BIC$ , $CIA$ , $AIB$ , and their centers.

[bogomolny2-8] Bogomolny, Alexander. «A Property of Circle Through the Incenter». Cut-the-Knot. Consultado em 26 de janeiro de 2016

[bogomolny1-9] Bogomolny, Alexander. «Midpoints of the Lines Joining In- and Excenters». Cut-the-Knot. Consultado em 26 de janeiro de 2016

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]