Mínimos quadrados generalizados

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Nota: não confunda com o método dos momentos generalizado (GMM).

Em Econometria, o método dos mínimos quadrados generalizados (GLS, na sigla em inglês) é uma técnica para estimar parâmetros desconhecidos num modelo de regressão linear. O método GLS é aplicado quando a variância dos erros não é a mesma (heteroscedasticidade), ou quando há certa correlação entre os resíduos. Nestes casos, o método dos mínimos quadrados ordinários pode ser estatisticamente ineficiente ou mesmo viesado.

Hipóteses do modelo[editar | editar código-fonte]

Seja o modelo na forma matricial

Y=X\beta+\varepsilon

Assumimos que[1]

E \left [ \varepsilon|X \right ]=0
E \left [ \varepsilon\varepsilon^T|X \right ]=\sigma^2\Omega, onde \Omega é uma matriz positiva definida. No caso especial em que temos mínimos quadrados ordinários, \Omega=I, a matriz identidade.

Esta última hipótese é bem genérica, ou seja, inclui muitos casos. Por exemplo, no caso de heteroscedasticidade, teremos

\sigma^2\Omega=\sigma^2\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\sigma^2_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \sigma^2_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \sigma^2_{nn}
\end{bmatrix}

Se tivermos, por outro lado, autocorrelação, mas não heteroscedasticidade, teremos:

\sigma^2\Omega=\sigma^2\begin{bmatrix}
1 & a_{1} & \cdots & a_{n-1} \\
a_{1} & 1 & \cdots & a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & 1
\end{bmatrix}

Variância do estimador[editar | editar código-fonte]

A variância do estimador \hat \beta^{GLS} é dada por [1]

Var \left (  \hat \beta^{GLS} \right )=\left [ X^TX \right ]^{-1}X^T \sigma^2\Omega X\left [ X^TX \right ]^{-1}

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b GREENE, William H. Econometric Analysis. Prentice Hall, 5ª edição. Chapter 10-Nonspherical disturbances-The generalized regression model. Página 191.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]