Modelo de viga de Timoshenko-Ehrenfest
O modelo de viga de Timoshenko-Ehrenfest foi desenvolvido por Stephen Timoshenko e Paul Ehrenfest[1][2][3] no início do século XX.[4][5] O modelo leva em consideração a deformação por cisalhamento e os efeitos rotacionais da flexão, tornando-o adequado para descrever o comportamento de vigas espessas, vigas compostas em sanduíche ou vigas sujeitas a excitação de alta frequência quando o comprimento de onda se aproxima da espessura da viga. Analogamente à teoria dos feixes de Euler-Bernoulli, a equação resultante é de 4ª ordem, mas uma derivada parcial de segunda ordem é presente. Fisicamente, os graus de liberdade extras no modelo reduzem a rigidez calculada para o corpo, resultando em maiores deflexões sob cargas estáticas e menores frequências naturais. O último efeito é mais perceptível para frequências mais altas à medida que o comprimento de onda se torna menor (em princípio comparável à altura do feixe ou menor) e, portanto, a distância entre as forças de cisalhamento opostas diminui.
O efeito da inércia rotativa foi primeiramente estudado por Jacques Bresse[6] e Rayleigh.[7]
Se o módulo de cisalhamento do material tende a infinito (material rígido ao cisalhamento, deformações cisalhantes tendem a zero) e se os efeitos da inércia rotacional são desprezíveis, o modelo de Timoshenko converge ao modelo de viga de Euler-Bernoulli.
Modelo quasiestático[editar | editar código-fonte]
No modelo estático de viga de Timoshenko sem efeitos axiais, os deslocamentos de cada ponto do corpo de coordenadas são dados por:
onde são as componentes do vetor de deslocamento, é o ângulo de rotação da seção transversal da viga em relação à normal da curva neutra, e é o deslocamento da curva neutra na direção .
Com essas hipóteses, a deformação da viga é descrita por duas equações diferenciais ordinárias:
onde
- é a área da seção transversal;
- é o módulo de Young;
- é o módulo de cisalhamento;
- é o segundo momento de área;
- , chamado de coeficiente de Timoshenko, depende da geometria da viga;
- é a carga distribuída (força por comprimento).
Modelo dinâmico[editar | editar código-fonte]
No modelo dinâmico de viga de Timoshenko sem efeitos axiais, os deslocamentos de cada ponto do corpo de coordenadas são dados por
onde são as componentes do vetor de deslocamento, é o ângulo de rotação da seção transversal da viga em relação à normal da curva neutra, e é o deslocamento da curva neutra na direção .
Partindo dessas hipóteses, o movimento da viga pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais:[8]
onde
- é a densidade do material (mas não a densidade linear);
- é a área da seção transversal;
- é o módulo de Young;
- é o módulo de cisalhamento;
- é o segundo momento de área;
- , chamado de coeficiente de Timoshenko, depende da geometria da viga;
- é a carga distribuída (força por comprimento).
Referências
- ↑ Isaac Elishakoff, 2020. Who developed the so-called Timoshenko beam theory? Mathematics and Mechanics of Solids, 25(1), 97–116. https://doi.org/10.1177/1081286519856931
- ↑ Elishakoff,I.,2020, Handbook on Timoshenko-Ehrenfest Beam and Uflyand-Mindlin Plate Theories, World Scientific, Singapore, ISBN 978-981-3236-51-6
- ↑ Grigolyuk, E.I.,2002, S.P. Timoshenko: Life and Destiny, Moscow: Aviation Institute Press (in Russian)
- ↑ Timoshenko, S. P., 1921, On the correction factor for shear of the differential equation for transverse vibrations of bars of uniform cross-section, Philosophical Magazine, p. 744.
- ↑ Timoshenko, S. P., 1922, On the transverse vibrations of bars of uniform cross-section, Philosophical Magazine, p. 125.
- ↑ Bresse J.A.C.,1859, Cours de mécanique appliquée – Résistance des matériaux et stabilité des constructions, Paris, Gauthier-Villars(in French)
- ↑ Rayleigh Lord (J. W. S. Strutt),1877-1878, The Theory of Sound, London: Macmillan (see also Dover, New York, 1945)
- ↑ Timoshenko's Beam Equations