Princípio de Dirichlet

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Em matemática, o princípio de Dirichlet em teoria do potencial etabelece que, se a função u(x) é a solução para a equação de Poisson

\Delta u + f = 0\,

sobre um domínio \Omega de \mathbb{R}^n com condição de contorno

u=g\text{ on }\partial\Omega,\,

então u pode ser obttido como o mínimo da energia de Dirichlet

E[v(x)] = \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla v|^2 - vf\right)\,\mathrm{d}x

entre todas as funções duas vezes diferenciáveis v tal que v=g em \partial\Omega (desde que exista pelo menos uma função que faça a integral de Dirichlet finita). Este conceito é nomeado em homenagem ao matemático alemão Lejeune Dirichlet.

Uma vez que a integral de Dirichlet é delimitada a partir de baixo, a existência de um ínfimo é garantida. Ínfimo este que é atingido como foi demonstrado por Riemann (que cunhou o termo princípio de Dirichlet) e outros até Weierstrass que apresentou um exemplo de um funcional que não atingia o mínimo. Hilbert, mais tarde, justificou a utilização de Riemann do princípio de Dirichlet .

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Referências[editar | editar código-fonte]