Princípio de Dirichlet

Em matemática, o princípio de Dirichlet em teoria do potencial etabelece que, se a função u(x) é a solução para a equação de Poisson

$\Delta u + f = 0\,$

sobre um domínio $\Omega$ de $\mathbb{R}^n$ com condição de contorno

$u=g\text{ on }\partial\Omega,\,$

então u pode ser obttido como o mínimo da energia de Dirichlet

$E[v(x)] = \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla v|^2 - vf\right)\,\mathrm{d}x$

entre todas as funções duas vezes diferenciáveis $v$ tal que $v=g$ em $\partial\Omega$ (desde que exista pelo menos uma função que faça a integral de Dirichlet finita). Este conceito é nomeado em homenagem ao matemático alemão Lejeune Dirichlet.

Uma vez que a integral de Dirichlet é delimitada a partir de baixo, a existência de um ínfimo é garantida. Ínfimo este que é atingido como foi demonstrado por Riemann (que cunhou o termo princípio de Dirichlet) e outros até Weierstrass que apresentou um exemplo de um funcional que não atingia o mínimo. Hilbert, mais tarde, justificou a utilização de Riemann do princípio de Dirichlet .

Ver também

• Problema de Plateau
• Primeira identidade de Green

Referências

• Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. [S.l.]: American Mathematical Society, 1998. ISBN 978-0821807729
• Eric W. Weisstein, Dirichlet's Principle em MathWorld.