Teorema de Heine-Borel

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Em matemática, o teorema de Heine-Borel ou teorema de Borel-Lebesgue, estabelece que em \mathbb{R}^n\, um conjunto é compacto se e somente se é fechado e limitado.

Discussão[editar | editar código-fonte]

Um conjunto K\, é dito compacto se apresentar a seguinte propriedade:

Toda cobertura aberta admite uma subcobertura finita. Ou seja, se O_\lambda\, são conjuntos abertos indexados por um índice \lambda \in I\, e:
K\subseteq\bigcup_{\lambda\in I} O_\lambda\,

Então existe uma família finita \left\{O_{\lambda_n}\right\}_{n=1}^{N}\, que cobre K\,:

K\subseteq\bigcup_{n=1}^{N} O_{\lambda_n}\,

Esta propriedade é chamada de propriedade de Heine-Borel ou propriedade de Borel-Lebesgue.

Um conjunto F\, é dito fechado se toda sequência convergente contida em F\, converge para um ponto de F\,, ou seja:

x_n \in F\hbox{ e }x_n\to x\,, então: x\in F\,

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.

Um lema sobre a distância de um compacto a um ponto fora dele[editar | editar código-fonte]

Mostraremos que se K é um conjunto compacto e x^*\notin K então existe um número \delta>0, tal que:

|x^*-y|\geq \delta, \forall y \in K

Para tal, defina:

r(y)=\frac{|x^*-y|}{2}, \forall y\in\mathbb{R}^n

É claro que r(y)>0\, para todo ponto y\, em K\,.

Agora construa os abertos:

O_{y}=B(y,r(y)), \forall y\in K, ou seja, a bola de centro y e raio r(y)\,

Eles formam uma cobertura para K:

K=\bigcup_{y\in K}\{y\} \subseteq \bigcup_{y\in K}O_y

Usando a definição de compacidade, estabelecemos a existência de um conjunto finito de pontos y_1,y_2,\ldots, y_n \in K\, tais que:

K\subseteq \bigcup_{k=1}^{n}O_{y_k}

Por construção, os abertos O_{y}\, são disjuntos das bolas centradas em y^*\, de raio r(y)\,:

O_{y}\bigcap B(x^*,r(y))=B(y,r(y))\bigcap B(x^*,r(y))=\emptyset

Defina:

\delta=\min_{k=1}^{n} r(y_k)\,

temos:

O_{y_k}\bigcap B(x^*,\delta)=B(y_k,r(y_k))\bigcap B(x^*,\delta) = B(y_k,r(y_k))\bigcap B(x^*,r(y_k))=\emptyset,\forall k=1,\ldots,n

Tomando a união, temos:

K\bigcap \left(B(x^*,\delta)\right)\subseteq \left(\bigcup_{k=1}^{n}O_{y_k}\right)\bigcap B(x^*,\delta)=\emptyset

Pela definição da bola B(x^*,\delta)\,, temos que todo ponto do conjunto K\, está a uma distância não inferior a \delta, o que completa a demonstração.

Compacto implica fechado[editar | editar código-fonte]

Seja K\, um conjunto compacto e seja K^c\, seu complementar. O lema anterior mostra que K^c\, contém uma bola aberta em torno de cada um de seus pontos, logo é aberto.

Compacto implica limitado[editar | editar código-fonte]

Seja um conjunto não limitado, então ele possui uma seqüência com as seguintes propriedade:

  • |x_{n+1}|> |x_n|\,
  • |x_n|\to\infty\,

Construa a cobertura:

O_{n}=B(0,|x_n|)\,

A união dos O_n \, cobre todo o espaço, mas nenhuma subcobertura finita cobre toda a seqüência x_n.

Assim, nenhum conjunto não-limitado é compacto.

Fechado e limitado implica compacto[editar | editar código-fonte]

Vamos utilizar o argumento do teorema de Bolzano-Weierstrass.

Para tal, considere um conjunto K\, fechado e limitado e suponha, por absurdo, que não seja compacto, ou seja, que exista uma cobertura de abertos e não admita subcobertura finita.

Por ser limitado, deve estar contido em algum hipercubo:

  • K\subseteq[a^1_1,b^1_1]\times [a^2_1,b^2_1]\times\ldots\times[a^n_1,b^n_1]

Faço bisseção de cada uma das arestas do hipercubo, de forma a obter 2^n\, hipercubos menores. Considere os subconjuntos formados pela intesecção de K\, com cada um destes hipercubos menores. Pelo menos um desses conjuntos não pode ser coberto com uma subcobertura finita.

Prossiga o argumento recursivo para obter uma seqüencia de conjuntos fechados (pois cada hipercubo é fechado e a intersecção de fechados é um fechado) encaixados cujo diâmetro tende a zero. Aplique o teorema de Cantor para obter um ponto na intersecção de todos estes fechado que não pode ser coberto por subcobertura finita. Um absurdo.

Ver também[editar | editar código-fonte]