Teorema de Bolzano-Weierstrass

O teorema de Bolzano-Weierstrass estabelece que um conjunto do $\mathbb{R}^n\,$ é sequencialmente compacto se e somente se é fechado e limitado.

Por sequencialmente compacto, entende-se que toda sequência extraída do conjunto, possui uma subsequência convergente. Ou seja, se $K\,$ é um conjunto seqüencialmente compacto e $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\,$ é uma seqüência de pontos pertencentes a $K\,$, então existe uma subseqüência $\{x_{n_k}\}\,$ tal que:

$\lim_{k\to \infty}x_{n_k}=x^*\in K\,$

Um conjunto $F\,$ é dito fechado se toda sequência convergente contida em $F\,$ converge em $F\,$, ou seja:

$x_n \in F$ e $x_n\to x\,$, então: $x\in F\,$

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma esfera de raio finito.

Lema de Bolzano-Weierstrass na reta

Estebeleceremos o seguinte lema que nos permitirá dar seqüência à demonstração do teorema.

Seja $x_n\,$, uma sequencia limitada em $\mathbb{R}\,$, então existe uma subsequência $x_{n_k}\,$ convergente.

Demonstração: Primeiramente, defina $x_{n_1}=x_1\,$

Como $x_n\,$ é limitada, existe um intervalo $[a_1,b_1]\,$ tal que:

$x_n\in[a_1,b_1],~~\forall n \,$

Seja $M_1=\frac{b_1+a_1}{2}\,$ o ponto médio entre $a_1\,$ e $b_1\,$.

Como $[a_1,b_1]=[a_1,M_1]\bigcup [M_1,b_1]\,$, deve haver pelo menos um destes intervalos com a propriedade que $x_n\,$ pertence a ele infinitas vezes. Escolha um destes intervalos.

Defina $x_{n_2}\,$ como qualquer elemento da sequência que pertence ao intervalo escolhido contando que $n_2>n_1\,$ .

Se o intervalo escolhido foi aquele que fica à direita, então defina:

$a_2=M_1\hbox{ e } b_2=b_1\,$

Caso contrário escolha:

$a_2=a_1\hbox{ e } b_2=M_1\,$

Observe que:

$b_2-a_2 = \frac{b_1-a_1}{2}\,$, ou seja, o comprimento do intervalo foi reduzido pela metade.

Repita este processo recursivamente, de forma a obter uma sequência de intervalos $[a_k,b_k]\,$ e de pontos $x_{n_k}\,$ com as seguintes propriedades:

• $x_{n_k}\in [a_k,b_k]\,$
• $b_k-a_k=\frac{b_{k-1}-a_{k-1}}{2}=\frac{b_{1}-a_{1}}{2^{k-1}}\,$
• $a_k\geq a_{k-1}\,$
• $b_k\leq b_{k-1}\,$

Assim, $a_k\,$ é uma sequência não-decrescente e limitada superiormente por $b_1\,$, portanto converge para um limite, digamos, $a\,$. $b_k\,$ é uma sequência não-crescente e limitada inferiormente por $a_1\,$, portanto também converge para um limite $b\,$.

Mas $b_k-a_k=\frac{b_{1}-a_{1}}{2^{k-1}}\to 0\,$, portanto $a=b\,$. Como $a_k\leq x_{n_k}\leq b_k\,$, o teorema do confronto estabelece que $x_{n_k}\,$ converge para o mesmo limite.

Lema de Bolzano-Weierstrass em mais dimensões

A demonstração pode ser feita de duas formas.

Uma delas é generalizar a demonstração acima para $\mathbb{R}^m\,$:

Então seja $x_n\,$ limitada em $\mathbb{R}^n\,$, existe uma hipercubo (a rigor, um hiperparalelogramo) que contém a sequência:

$x_n\in [a^1_1,b^1_1]\times [a^2_1,b^2_1]\times\ldots\times[a^n_1,b^n_1]\,$

Dividindo-se, em cada passo, o hipercubo em $2^m\,$ sub-hipercubos, constrói-se uma sequência $\{x_{n_k}\}\,$ da mesma forma como em $\mathbb{R}\,$.

Agora escreva as componentes do vetor $x_{n_k}=(x^1_{n_k},x^2_{n_k},\ldots,x^m_{n_k})\,$. Como $a^i_k\leq x^i_{n_k}\leq b^i_k, i=1,2,\ldots,n\,$, temos que cada componente está convergindo e, portanto, existe o limite: $x_{n_k}\to x^*\,$ O resultado segue.

Outra forma é por indução finita na dimensão m:

Para m = 1, temos o resultado em $\mathbb{R}\,$

Se vale para $\mathbb{R}^m\,$, então, dada uma sequência em $\mathbb{R}^{m+1}\,$, temos que as coordenadas de 1 a m estão no $\mathbb{R}^m\,$, portanto existe uma subsequência convergente para estas coordenadas. A m+1-ésima coordenada desta subsequência está em $\mathbb{R}\,$, portanto existe um sub-sub-sequência que converge para esta última coordenada. Agora é fácil ver que esta sub-sub-sequência converge para todas coordenadas, logo converge em $\mathbb{R}^{m+1}\,$ - o que prova o resultado.

Fechado e limitado implica sequencialmente compacto

Considere que um conjunto seja fechado e limitado, queremos mostrar que é sequencialmente compacto.

Seja $\{x_n\}\,$ uma sequência extraída do conjunto, como o conjunto é limitado, a sequência também o é. Pelo lema acima, ela admite uma subsequência convergente. Como o conjunto é fechado, o limite pertence ao conjunto.

Sequencialmente compacto implica limitado

Seja $F\,$ um conjunto não-limitado. Por não ser limitado, deve possuir uma sequência $\{x_n\}\,$ tal que: $|x_n| \to \infty\,$ que, portanto não converge.

Logo o conjunto não é sequêncialmente compacto.

Sequencialmente compacto implica fechado

Seja $K\,$ um conjunto seqüencialmente compacto e seja $\{x_n\}\,$ um sequência convergente extraída de $K\,$, da compacidade, segue que o limite pertence a $K\,$ e o resultado segue.

Ver também

• Teorema de Heine-Borel que afirma que um conjunto é compacto se e somente se é fechado e limitado.
• Paradoxos do infinito
• Bernard Bolzano
• Karl Weierstrass