Teorema de Bolzano-Weierstrass

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O teorema de Bolzano-Weierstrass estabelece que um conjunto do \mathbb{R}^n\, é sequencialmente compacto se e somente se é fechado e limitado.

Por sequencialmente compacto, entende-se que toda sequência extraída do conjunto, possui uma subsequência convergente. Ou seja, se K\, é um conjunto seqüencialmente compacto e \{x_n\}_{n=1}^{\infty}\, é uma seqüência de pontos pertencentes a K\,, então existe uma subseqüência \{x_{n_k}\}\, tal que:

\lim_{k\to \infty}x_{n_k}=x^*\in K\,

Um conjunto F\, é dito fechado se toda sequência convergente contida em F\, converge em F\,, ou seja:

x_n \in F e x_n\to x\,, então: x\in F\,

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma esfera de raio finito.

Lema de Bolzano-Weierstrass na reta[editar | editar código-fonte]

Estebeleceremos o seguinte lema que nos permitirá dar seqüência à demonstração do teorema.

Seja x_n\,, uma sequencia limitada em \mathbb{R}\,, então existe uma subsequência x_{n_k}\, convergente.

Demonstração: Primeiramente, defina x_{n_1}=x_1\,

Como x_n\, é limitada, existe um intervalo [a_1,b_1]\, tal que:

x_n\in[a_1,b_1],~~\forall n \,

Seja M_1=\frac{b_1+a_1}{2}\, o ponto médio entre a_1\, e b_1\,.

Como [a_1,b_1]=[a_1,M_1]\bigcup [M_1,b_1]\,, deve haver pelo menos um destes intervalos com a propriedade que x_n\, pertence a ele infinitas vezes. Escolha um destes intervalos.

Defina x_{n_2}\, como qualquer elemento da sequência que pertence ao intervalo escolhido contando que n_2>n_1\, .

Se o intervalo escolhido foi aquele que fica à direita, então defina:

a_2=M_1\hbox{ e } b_2=b_1\,

Caso contrário escolha:

a_2=a_1\hbox{ e } b_2=M_1\,

Observe que:

b_2-a_2 = \frac{b_1-a_1}{2}\,, ou seja, o comprimento do intervalo foi reduzido pela metade.

Repita este processo recursivamente, de forma a obter uma sequência de intervalos [a_k,b_k]\, e de pontos x_{n_k}\, com as seguintes propriedades:

  • x_{n_k}\in [a_k,b_k]\,
  • b_k-a_k=\frac{b_{k-1}-a_{k-1}}{2}=\frac{b_{1}-a_{1}}{2^{k-1}}\,
  • a_k\geq a_{k-1}\,
  • b_k\leq b_{k-1}\,

Assim, a_k\, é uma sequência não-decrescente e limitada superiormente por b_1\,, portanto converge para um limite, digamos, a\,. b_k\, é uma sequência não-crescente e limitada inferiormente por a_1\,, portanto também converge para um limite b\,.

Mas b_k-a_k=\frac{b_{1}-a_{1}}{2^{k-1}}\to 0\,, portanto a=b\,. Como a_k\leq x_{n_k}\leq b_k\,, o teorema do confronto estabelece que x_{n_k}\, converge para o mesmo limite.

Lema de Bolzano-Weierstrass em mais dimensões[editar | editar código-fonte]

A demonstração pode ser feita de duas formas.

Uma delas é generalizar a demonstração acima para \mathbb{R}^m\,:

Então seja x_n\, limitada em \mathbb{R}^n\,, existe uma hipercubo (a rigor, um hiperparalelogramo) que contém a sequência:

x_n\in [a^1_1,b^1_1]\times [a^2_1,b^2_1]\times\ldots\times[a^n_1,b^n_1]\,

Dividindo-se, em cada passo, o hipercubo em 2^m\, sub-hipercubos, constrói-se uma sequência \{x_{n_k}\}\, da mesma forma como em \mathbb{R}\,.

Agora escreva as componentes do vetor x_{n_k}=(x^1_{n_k},x^2_{n_k},\ldots,x^m_{n_k})\,. Como a^i_k\leq x^i_{n_k}\leq b^i_k, i=1,2,\ldots,n\,, temos que cada componente está convergindo e, portanto, existe o limite: x_{n_k}\to x^*\, O resultado segue.

Outra forma é por indução finita na dimensão m:

Para m = 1, temos o resultado em \mathbb{R}\,

Se vale para \mathbb{R}^m\,, então, dada uma sequência em \mathbb{R}^{m+1}\,, temos que as coordenadas de 1 a m estão no \mathbb{R}^m\,, portanto existe uma subsequência convergente para estas coordenadas. A m+1-ésima coordenada desta subsequência está em \mathbb{R}\,, portanto existe um sub-sub-sequência que converge para esta última coordenada. Agora é fácil ver que esta sub-sub-sequência converge para todas coordenadas, logo converge em \mathbb{R}^{m+1}\, - o que prova o resultado.

Fechado e limitado implica sequencialmente compacto[editar | editar código-fonte]

Considere que um conjunto seja fechado e limitado, queremos mostrar que é sequencialmente compacto.

Seja \{x_n\}\, uma sequência extraída do conjunto, como o conjunto é limitado, a sequência também o é. Pelo lema acima, ela admite uma subsequência convergente. Como o conjunto é fechado, o limite pertence ao conjunto.

Sequencialmente compacto implica limitado[editar | editar código-fonte]

Seja F\, um conjunto não-limitado. Por não ser limitado, deve possuir uma sequência \{x_n\}\, tal que: |x_n| \to \infty\, que, portanto não converge.

Logo o conjunto não é sequêncialmente compacto.

Sequencialmente compacto implica fechado[editar | editar código-fonte]

Seja K\, um conjunto seqüencialmente compacto e seja \{x_n\}\, um sequência convergente extraída de K\,, da compacidade, segue que o limite pertence a K\, e o resultado segue.

Ver também[editar | editar código-fonte]