Subespaço vetorial

Sejam V e W espaços vetoriais definidos sobre o mesmo corpo F. W é um subespaço vetorial de V quando, como conjunto, W é um subconjunto não vazio de V, e as operações +: W x W -> W e .: F x W -> W são as mesmas que +: V x V -> V e .: F x V -> V, quando efetuadas em elementos de W.

Definição

A definição rigorosa de subespaço vetorial tem a seguinte forma:

Sejam $(V,F,\oplus _{V},\otimes _{V},+,\times )\,$ e $(W,F,\oplus _{W},\otimes _{W},+,\times )\,$ espaços vetoriais sobre o corpo $(F,+,\times )\,$. Então W é um subespaço vetorial de V se, além de ser não vazio, satisfizer:

• $W\subset V\,$

• $\forall w_{1}\forall w_{2}(w_{1}\in W\land w_{2}\in W\rightarrow w_{1}\oplus _{W}w_{2}=w_{1}\oplus _{V}w_{2})\,$

• $\forall x\forall w(x\in F\land w\in W\rightarrow x\otimes _{W}w=x\otimes _{V}w)\,$

Essas duas últimas propriedades podem ser sucintamente representadas por:

• $\oplus _{V}/(W\times W)=\oplus _{W}\,$

• $\otimes _{V}/(F\times W)=\oplus _{W}\,$

usando a definição de restrição de uma função a subconjunto de seu domínio.

De modo geral, quando se diz que $(V,F,\oplus ,\otimes ,+,\times )\,$ é um espaço vetorial e $W\subset V\,$, presume-se que as operações em W são as mesmas de V, então para se provar que W é um subespaço vetorial de V basta provar que W é um espaço vetorial, ou seja, que $0_{V}\in W\,$ e que as operações de soma de vetores de W e de multiplicação de escalar por vetor de W geram elementos de W.

Exemplos

• Em $\mathbb {R} ^{3}\,$, o conjunto $\mathbb {R} ^{2}\times \{0\}\,$ é um subespaço vetorial.

• Se considerarmos que $\mathbb {C} \,$ é um espaço vetorial sobre $\mathbb {Q} \,$, então $\mathbb {R} \,$ é um subespaço vetorial.

• O conjunto $W=\{(x,y,z):x+y+z=0\}$ é um subespaço vetorial de $\mathbb {R} ^{3}$.

• O conjunto dado pelas equações paramétricas $W=\{(u+3v,-u-v,2u+v):u,v\in \mathbb {R} \}$ é um subespaço vetorial de $\mathbb {R} ^{3}$.

• Os exemplos acimas são casos particulares de uma classe de exemplos: seja $L:V\to W\,$ uma função linear. Então o núcleo de L (denotado por ker(L)) e a imagem de L (denotada por Im(L)) são subespaços vetoriais, respectivamente, de V e W.

Ver também

• Wikilivros

• Base de um Espaço Vetorial