Constante de Gelfond

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Em matemática, a constante de Gelfond, nomeada em memória de Alexander Gelfond, é eπ, isto é, e na potência π. Assim como e e π, esta constante é um número transcendental. Isto foi estabelecido a primeira vez por Gelfond e pode atualmente ser considerado uma aplicação do teorema de Gelfond-Schneider, observando que

sendo i a unidade imaginária. Como −i é algébrico, mas certamente não racional, eπ é transcendental. A constante foi mencionada no sétimo problema de Hilbert.[1] Uma constante relacionada é , conhecida como constante de Gelfond–Schneider. O valor relacionado π + eπ é também irracional.[2]

Valor numérico[editar | editar código-fonte]

A expansão decimal da constante de Gelfond começa com

Se definirmos e

para , então a sequência[3]

converge rapidamente para .

Peculiaridades geométricas[editar | editar código-fonte]

O volume da bola n-dimensional é dado por:

sendo seu raio e é a função gama. Qualquer bola unitária de dimensionalidade par tem volume:

.

Somando todos os volumes das bolas unitárias de dimensionalidade par obtemos:[4]

Referências

  1. Tijdeman, Robert (1976). «On the Gel'fond–Baker method and its applications». In: Felix E. Browder. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII.1 American Mathematical Society [S.l.] p. 241–268. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl 0341.10026. 
  2. Nesterenko, Y (1996). «Modular Functions and Transcendence Problems». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique [S.l.: s.n.] 322 (10): 909–914. Zbl 0859.11047. 
  3. Borwein, J.; Bailey, D. (2004). Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century (Wellesley, MA: A K Peters). p. 137. ISBN 1-56881-211-6. Zbl 1083.00001. 
  4. Connolly, Francis. University of Notre Dame

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]