Constante de Gelfond

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Em matemática, a constante de Gelfond, nomeada em memória de Alexander Gelfond, é eπ, isto é, e na potência π. Assim como e e π, esta constante é um número transcendental. Isto foi estabelecido a primeira vez por Gelfond e pode atualmente ser considerado uma aplicação do teorema de Gelfond-Schneider, observando que

 e^\pi  \;  = \;    (e^{i\pi})^{-i}   \;  =   \;(-1)^{-i}

sendo i a unidade imaginária. Como −i é algébrico, mas certamente não racional, eπ é transcendental. A constante foi mencionada no sétimo problema de Hilbert.1 Uma constante relacionada é 2^\sqrt{2}, conhecida como constante de Gelfond–Schneider. O valor relacionado π + eπ é também irracional.2

Valor numérico[editar | editar código-fonte]

A expansão decimal da constante de Gelfond começa com

e^\pi  \approx 23.14069263277926\dots\,.

Se definirmos \scriptstyle k_0\,=\,\tfrac{1}{\sqrt{2}} e

k_{n+1}=\frac{1-\sqrt{1-k_n^2}}{1+\sqrt{1-k_n^2}}

para n > 0, então a sequência3

(4/k_{n+1})^{2^{-n}}

converge rapidamente para e^\pi.

Peculiaridades geométricas[editar | editar código-fonte]

O volume da bola n-dimensional é dado por:

V_n={\pi^\frac{n}{2}R^n\over\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.

sendo R seu raio e \Gamma é a função gama. Qualquer bola unitária de dimensionalidade par tem volume:

V_{2n}=\frac{\pi^n}{n!}\ .

Somando todos os volumes das bolas unitárias de dimensionalidade par obtemos:4

\sum_{n=0}^\infty V_{2n} = e^\pi.

Referências

  1. Tijdeman, Robert. In: Felix E. Browder. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. [S.l.]: American Mathematical Society, 1976. Capítulo: On the Gel'fond–Baker method and its applications. , p. 241–268. vol. XXVIII.1. ISBN 0-8218-1428-1
  2. Nesterenko, Y (1996). "Modular Functions and Transcendence Problems". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique 322 (10): 909–914.
  3. Borwein, J.; Bailey, D.. In: J.. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. [S.l.]: A K Peters, 2004. p. 137. ISBN 1-56881-211-6
  4. Connolly, Francis. University of Notre Dame

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]