Coordenadas cilíndricas parabólicas

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Superfícies coordenadas das coordenadas cilíndricas parabólicas. O cilindro parabólico vermelho corresponde a σ = 2, enquanto o cilindro parabólico amarelo corresponde a τ = 1. O plano azul corresponde a z= 2. Estas superfícies se cruzam no ponto P (mostrado como uma esfera preta), cujas coordenadas cartesianas são aproximadamente (2, -1,5, 2).

Em matemática, as coordenadas cilíndricas parabólicas são um sistema de coordenadas ortogonais tridimensionais que resultam da projeção do sistema de coordenadas parabólicas bidimensional na direção perpendicular a . Assim, as superfícies coordenadas são cilindros parabólicos confocais. As coordenadas cilíndricas parabólicas possuem inúmeras aplicações como, por exemplo, na teoria potencial das arestas.

Definição básica[editar | editar código-fonte]

Sistema de coordenadas parabólicas mostrando as curvas com σ e τ constantes. Os eixos horizontal e vertical são as coordenadas x e y, respectivamente. Tais coordenadas são projetadas ao longo do eixo z, e assim este diagrama vale para qualquer valor da coordenada z.

As coordenadas cilíndricas parabólicas são definidas em termos das coordenadas cartesianas (x,y,z)  por:

As superfícies com constante formam cilindros parabólicos confocais de equações

com concavidade voltada para a direção , ao passo que as superfícies com constante formam cilindros parabólicos confocais de equações

com concavidade voltada para a direção oposta, isto é, na direção . Os focos de todos estes cilindros parabólicos estão localizados ao longo da reta definida por . O raio r tem uma equação simples, a saber,

que é útil na resolução da equação de Hamilton-Jacobi em coordenadas parabólicas para o problema da forca central inversa ao quadrado da distância, da mecânica. Para mais detalhes, ver o artigo vetor de Laplace-Runge-Lenz.

Fatores de escala[editar | editar código-fonte]

Os fatores de escala para as coordenadas cilíndricas parabólicas e são:

O elemento infinitesimal de volume é

e o laplaciano é igual a

Outros operadores diferenciais tais como e podem ser expressos nas coordenadas substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais em coordenadas ortogonais.

Harmônicos cilindro parabólico[editar | editar código-fonte]

Uma vez que todas as superfícies com σ, τ and z  são conicóides, a equação de Laplace é separável em coordenadas cilíndricas parabólicas. Usando a técnica da separação de variáveis, uma solução independente para a equação de Laplace pode ser escrita como:

E a equaçao de Laplace, ao ser dividida por V , é escrita como:

Uma vez que a equação em Z  está separada dos outros termos, podemos escrever

Onde m  é constante. A solução para Z(z) é:

Substituindo por  , a equação de Laplace agora pode ser escrita como:

Ainda podemos separar as funções S  e T  e introduzir uma constante para obter:

As soluções para essas equaçoes são as funções cilindro parabólico

Os harmônicos cilindro parabólico para (m,n) são então o produto das soluções. A combinação reduz o número de constantes e a solução geral para a equação de Laplace pode ser escrita como:

Aplicações[editar | editar código-fonte]

As aplicações clássicas das coordenadas cilíndricas parabólicas encontram-se na resolução de equações diferenciais parciais, como por exemplo a equação de Laplace ou a equação de Helmholtz, para as quais essas coordenadas permitem a utilização da técnica de separação das variáveis. Um exemplo típico seria o [[campo eletrico em torno de uma placa plana semi-infinita condutora.

Ver também[editar | editar código-fonte]

  • Sistemas de coordenadas ortogonais tridimensionais:

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I (New York: McGraw-Hill). p. 658. ISBN [[Special:BookSources/0-07-043316-X, LCCN 52-11515|0-07-043316-X, <span class="noprint">[[Library of Congress Control Number|LCCN]]&nbsp;[http://lccn.loc.gov/52011515 52-11515]</span>]] Verifique |isbn= (Ajuda). 
  • Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry (New York: D. van Nostrand). pp. 186–187. LCCN 55-10911. 
  • Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (New York: McGraw-Hill). p. 181. LCCN 59-14456, ASIN B0000CKZX7. 
  • Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs (New York: Springer Verlag). p. 96. LCCN 67-25285. 
  • Zwillinger D (1992). Handbook of Integration (Boston, MA: Jones and Bartlett). p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
  • Moon P, Spencer DE (1988). «Parabolic-Cylinder Coordinates (μ, ν, z)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. ed. (New York: Springer-Verlag). pp. 21–24 (Table 1.04). ISBN 978-0387184302. 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]