Derivada total

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Em matemática, a derivada total de uma função é a melhor aproximação linear do valor da função em relação aos seus argumentos. Ao contrário das derivadas parciais, a derivada total aproxima a função em relação a todos os seus argumentos, e não apenas a um. Em muitas situações, isso é o mesmo que considerar todas as derivadas parciais simultaneamente. O termo "derivado total" é usado principalmente quando é uma função de várias variáveis, porque quando é uma função de uma única variável, a derivada total é a mesma que a derivada da função. [1] :198–203

A "derivada total" é algumas vezes também usada como sinônimo da derivada de material na mecânica de fluidos .

A derivada total como um mapa linear[editar | editar código-fonte]

Seja um subconjunto aberto . Então uma função é dito ser (totalmente) diferenciável em um ponto se existe uma transformação linear tal que

O mapeamento linear é chamado de diferencial (total) ou derivada (total) de em . Outras notações para a derivada total incluem e . Uma função é (totalmente) diferenciável se sua derivada total existir em todos os pontos de seu domínio.


Conceitualmente, a definição da derivada total expressa a ideia de que é a melhor aproximação linear para no ponto . Isso pode ser feito com precisão quantificando o erro na aproximação linear determinada por . Para fazer isso, escreva

onde é igual ao erro na aproximação. Dizer que a derivada de em é é equivalente à enunciar que

onde é notação do pequeno o e indica que é muito menor do que quando . A derivada total é a única transformação linear para a qual o termo de erro é tão pequeno, e este é o sentido em que é a melhor aproximação linear para .

A função é diferenciável se e somente se cada um de seus componentes é diferenciável, por isso, quando se estudam derivadas totais, muitas vezes é possível trabalhar uma coordenada de cada vez no co-domínio. No entanto, o mesmo não é verdade das coordenadas no domínio. É verdade que se é diferenciável em , então cada derivada parcial existe em . O inverso é falso: pode acontecer que todas as derivadas parciais de em existam, mas não seja diferenciável em . Isso significa que a função é muito ''grosseira" em , a tal extremo que seu comportamento não pode ser adequadamente descrito por seu comportamento nas direções das coordenadas. Quando não é tão grosseira, isso não pode acontecer. Mais precisamente, se todas as derivadas parciais de em existem e são contínuos em uma vizinhança de , então é diferenciável em . Quando isso acontece, então, além disso, a derivada total de é a transformação linear correspondente à matriz jacobiana de derivadas parciais naquele ponto. [2]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics. [S.l.: s.n.] ISBN 0-07-010813-7 
  2. Abraham, Ralph; Marsden, J. E.; Ratiu, Tudor. Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. [S.l.: s.n.] 

links externos[editar | editar código-fonte]