Equação quadrática

As soluções de uma equação quadrática correspondem às intersecções de uma parábola com o eixo das abcissas. No caso da figura, as soluções são x = -1 e x=2.

Equação quadrática ou equação do segundo grau é toda sentença matemática aberta da forma:

$ax^{2}+bx+c=0\,\!$

onde a, b e c são coeficientes e pertecem a um conjunto-universo previamente adotado, com a restrição de ser a diferente de zero.

A quantidade x, figurante no trinômio que exprime a equação quadrática, é o valor a ser determinado — se existir no conjunto-universo adotado. Por essa razão é chamada de incógnita.

Equação quadrática é equação algébrica polinomial de grau dois, aplicando-se-lhe a teoria e as propriedades das equações polinomiais.

Introdução e nomenclatura

A restrição imposta de ser a diferente de zero é de imediata compreensão: com efeito, se a = 0, a equação em causa deixará de ser do segundo grau, passando a ser tão-somente uma equação do primeiro grau. Também se pode dizer que é restrição necessária pelo fato de o coeficiente a figurar no denominador da fórmula que resolve a equação quadrática, o que, contudo, é fato posterior.

Importa considerar que, em se tratando de equação, deve-se falar em incógnita, não em variável.

Incógnita significa quantidade não conhecida, o que, de fato, é verdadeiro antes da solução da equação. É, também, por essa razão lógica, que a sentença matemática que descreve a equação é dita aberta, naturalmente antes da solução. Variável, por seu turno, é termo adequado à grandeza figurante numa função (ou relação, lato sensu), pois que aí, de fato ela é tal: variável independente, variável dependente. Uma ou mais, conforme se trate de função ou relação a uma ou mais variável(is).

Solução da equação quadrática: A Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática (de 2º grau). Tem esse nome por ter sido divulgada pelo astronômo indiano Bháskara de Akaria, no século XII, em seu livro Lilavat. Sua descoberta porém é atribuída aos babilônios antigos, e sua formalização ao matemático persa Al-Khwarizmi.=]

${\begin{matrix}ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow \\\\(4a)(ax^{2}+bx+c)=(4a)\cdot 0\Leftrightarrow \\\\4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\Leftrightarrow \\\\(2ax)^{2}+2(2ax)b=-4ac\Leftrightarrow \\\\(2ax)^{2}+2(2ax)b+b^{2}=-4ac+b^{2}\Leftrightarrow \\\\(2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac\Leftrightarrow \\\\\left|2ax+b\right|={\sqrt {b^{2}-4ac}}\end{matrix}}\,\!$

Então tem-se por definição de módulo que:

• Se $(2ax+b)\geq 0\,\!$

${\begin{matrix}2ax+b={\sqrt {b^{2}-4ac}}\Leftrightarrow \\\\2ax={\sqrt {b^{2}-4ac}}-b\Leftrightarrow \\\\x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{matrix}}\,\!$

• Se $(2ax+b)<0\,\!$

${\begin{matrix}-(2ax+b)={\sqrt {b^{2}-4ac}}\Leftrightarrow \\\\2ax+b=-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\Leftrightarrow \\\\2ax=-{\sqrt {b^{2}-4ac}}-b\Leftrightarrow \\\\x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{matrix}}\,\!$

( Portanto,

$x=\left\{{\begin{matrix}{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\rightarrow r_{1}\\\\{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\rightarrow r_{2}\end{matrix}}\right.\Rightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,\!$

Propriedades matemáticas

Delta

O polinômio dentro da raíz da fórmula resolvente é chamado de delta ou discriminante.

$\Delta =b^{2}-4ac\,\!$

Dessa forma, a fórmula resolvente pode ser escrita na forma:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}\,\!$

De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a equação.

• Se $\Delta >0\,\!$, a equação terá duas raízes reais e distintas.
• Se $\Delta =0\,\!$, a equação terá uma raíz dupla.
• Se $\Delta <0\,\!$, a equação terá duas raízes complexas.

O delta também é usado no estudo do sinal de uma função quadrática.

Forma (S,P) da equação quadrática

Outra forma de resolver equações é através da soma (S) e produto (P), dada pela fórmula:

$ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow a\left(x^{2}-\left(-{\frac {b}{a}}x\right)+{\frac {c}{a}}\right)=0\Leftrightarrow a(x^{2}-Sx+P)=0\Leftrightarrow x^{2}-Sx+P=0\,\!$

onde:

• $r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}}=S$

e

• $r_{1}.r_{2}={\frac {c}{a}}=P$

Assim, munido dessas propriedades, podem-se avaliar as raízes em muitos (não em todos...) casos, pela simples inspeção visual e tentativa de composição de dois números que satisfaçam as relações dadas para a soma e para o produto das raízes.

Forma Fatorada da Equação Quadrática

Utilizando a forma de soma e produto da equação quadrática, é possivel chegar à forma fatorada da equação. Tendo em conta que:

• $S=r_{1}+r_{2}$

e

• $P=r_{1}\times r_{2}$

Pode-se afirmar que:

$a(x^{2}-Sx+P)=0\Leftrightarrow a\left[x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+(r_{1}\times r_{2})\right]=0\Leftrightarrow a\left[(x-r_{1})(x-r_{2})\right]=0$

Logo,

$ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow a(x-r_{1})(x-r_{2})=0$

Esta é a forma fatorada da Equação quadrática.

Outras Relações entre as Raízes

Soma do Inverso das Raízes

${\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}={\frac {r_{1}+r_{2}}{r_{1}.r_{2}}}={\frac {S}{P}}$

Soma dos Quadrados das Raízes

$r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=r_{1}^{2}+2r_{1}.r_{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}.r_{2}=(r_{1}+r_{2})^{2}-2r_{1}.r_{2}=S^{2}-2P$

Soma dos Quadrados dos Inversos das Raízes

${\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}={\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}.r_{2}^{2}}}={\frac {S^{2}-2P}{P^{2}}}$

Soma dos Cubos das Raízes

$r_{1}^{3}+r_{2}^{3}=r_{1}^{3}+3r_{1}^{2}.r_{2}+3r_{1}.r_{2}^{2}+r_{2}^{3}-3r_{1}^{2}.r_{2}-3r_{1}.r_{2}^{2}=(r_{1}+r_{2})^{3}-3(r_{1}+r_{2})(r_{1}.r_{2})=S^{3}-3S.P$

Média Aritmética das Raízes

${\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}={\frac {S}{2}}$

Média Geométrica das Raízes

${\sqrt {r_{1}.r_{2}}}={\sqrt {P}}$

Média Harmônica das Raízes

${\frac {1}{\frac {{\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}}{2}}}={\frac {2}{\frac {r_{1}+r_{2}}{r_{1}.r_{2}}}}={\frac {2r_{1}.r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}={\frac {2P}{S}}$

Domínio e imagem da função

O gráfico da função $f(x)=ax^{2}+bx+c$ será sempre uma parábola com vértice em:

$V=\left({\frac {-b}{2a}},{\frac {-\Delta }{4a}}\right)$

Estudo do gráfico

Para o estudo do gráfico ver função quadrática.

Bibliografia

• MURAKAMI, Gelson Iezzi Carlos. "Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 1". 8ª Edição. São Paulo: Atual, 2004. ISBN 85-357-0455-8