Função quadrática

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Esboço do gráfico da função , uma função quadrática

Em Matemática, uma função quadrática, um polinômio quadrático, um polinômio de grau 2 ou um polinômio de segundo grau, é uma função polinomial de segundo grau.

Essa função pode ter uma ou mais variáveis, porém este artigo se limita ao estudo das funções quadráticas de uma variável apenas.

Definição formal

Uma função de em , é uma função quadrática quando associa cada o elemento , em que , , são números reais, dados e .

Logo uma função quadrática é expressa pela lei:

.

Coeficientes da função quadrática

Os coeficientes de uma função quadrática são os números reais , e citados na definição formal acima.

Dependendo do valor de cada coeficiente o gráfico da função tem características diferentes.

 Formas da função quadrática

Uma função quadrática pode ser expressa em três formatos:

  • é chamada a forma geral, forma padrão ou forma polinomial (também chamada de forma desenvolvida),
  • é chamada a forma fatorada, onde e são as raízes da função quadrática, e as soluções da equação quadrática correspondente
  • é chamada a forma vértice (também chamada de forma canônica), em que e são as coordenadas e do vértice, respectivamente.

Forma canônica

A forma canônica de uma função quadrática é usada para estudar analiticamente a função, uma vez que nessa forma podemos observar diversas características da função apenas com base em seus termos.

ou , com e .

As duas principais aplicações da forma canônica são a verificação do vértice da função e a demonstração do ponto de máximo ou mínimo da função.

Transformação da forma geral para canônica

Seja a função quadrática , vamos transformá-la na forma canônica:

Primeiramente, coloca-se o coeficiente em evidência, da seguinte forma:

Então, no interior dos parênteses, soma-se e subtrai-se pelo termo , para completar quadrados.

Assim, observamos que os três primeiros termos do parênteses são resultados de um produto notável, podendo ser resumidos como:

Substituindo-se isto na função obtêm-se:

Por fim é feito algumas alterações e obtêm-se:

Para simplificar essa forma, pode-se dizer que existe , tais que e , transcrevendo a forma canônica da seguinte maneira:

Zeros da função[1]

Os zeros, ou raízes de uma função quadrática, são os valores de cuja imagem é .

Esses valores são conhecidos como e e podem ser descobertos através da fórmula quadrática .

Logo, as raízes são:

e .

Normalmente essa fórmula é simplificada, adotando o uso do discriminante, representado pela letra grega delta que é definido por .

Assim a fórmula pode ser reescrita como:

, onde e .

Demonstração usando complementação de quadrados

Uma das formas de demonstrar a fórmula quadrática é utilizando complementação de quadrados.

Demonstração

Seja a função , dizemos que suas raízes são os valores de que zeram a lei da função, ou seja, que tornam sua equação nula, da seguinte forma:

.

Partindo daqui, reescrevemos a função, isolando os termos que estão em função de :

Para completar quadrados, somamos o termo a ambos os lados da equação, fazendo com que ela fique reescrita da seguinte forma:

Assim, no primeiro membro temos que e no segundo membro, após efetuar a diferença entre as frações temos que .

Logo, temos que:

Podemos tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação, de foma a reescrever da seguinte forma:

Agora, procuramos isolar o na equação, seguindo dois passos intermediários:

Por fim, para isolar o , multiplicamos os dois lados da igualdade por , assim:

Dessa forma, é possível simplificar ambos os lados da igualdade, chegando por fim, à fórmula:

.

Demonstração usando forma canônica

Também é possível demonstrar a fórmula quadrática a partir da forma canônica.

Demonstração

Seja a função quadrática , sua forma canônica é:

Sabendo que as raízes de uma função são os valores de que possuem imagem nula, podemos escrever:

Para simplificar a função, podemos dividir ambos os termos da igualdade por , de modo a obter:

Reescrevendo esta igualdade, temos que:

.

Então tiramos a raiz quadrada de ambos os lados, ficando com:

Por fim isolamos a incógnita em um dos lados da igualdade:

Enfim, pode-se unir as duas frações de modo a obter a fórmula quadrática:

Estudo das raízes

Observe que a existência de raízes reais e sua quantidade de uma equação quadrática fica condicionado ao valor do discriminante .

Discriminante positivo:

Caso o valor de delta seja positivo dizemos que a equação possui duas raízes distintas, e que zeram a equação. Essas raízes podem ser obtidas pela fórmula quadrática vista acima.

e e

Discriminante nulo:

Caso o valor do discriminante seja nulo, dizemos que a equação possui duas raízes iguais.

[2]

Discriminante negativo:

Caso o valor de delta seja negativo, dizemos que a equação não possui raízes reais.

Para encontrar as raízes de uma função com discriminante negativo precisamos recorrer ao conjunto dos número complexos, onde há a unidade imaginária .

Ver artigo principal: Números complexos

Forma fatorada da função quadrática

A forma fatorada de uma função quadrática é expressa por:

, onde e são as raízes da função.

Para obter essas raízes pode-se utilizar a fórmula quadrática (conhecida no Brasil como fórmula de Bhaskara) ou o método da soma e produto.

Determinação dos zeros através de soma e produto

É possível determinar os zeros de uma função quadrática através de relações existentes entre seus coeficientes e suas raízes.

Para isso existe a relação de soma e produto que determina:

Soma das raízes:

Produto das raízes:

Assim, é possível montar um sistema de equações e encontrar as raízes.

Demonstração

Partindo-se da forma fatorada e aplicando a propriedade distributiva é possível demonstrar as relações de soma e produto de uma função quadrática:

Assim, é possível simplificar a função de modo que ela fique:

Sabendo que uma função quadrática pode ser expressa como , podemos igualar estas duas da seguinte forma:

Igualando os coeficientes temos as seguintes relações:

Gráfico

Ver artigo principal: Parábola

O gráfico de uma função quadrática é sempre uma Parábola com eixo de simetria perpendicular ao eixo .

Interpretação geométrica das raízes

Interpretação geométrica das raízes das funções quadráticas

Geometricamente, dizemos que os zeros, ou raízes, de uma função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo .

A interpretação geométrica das raízes pode ser feita levando em conta o valor do discriminante , assim como foi feito anteriormente com o estudo das raízes.

Discriminante positivo:

Nesse caso, como a função possui duas raízes distintas, seu gráfico possui dois pontos de corte no eixo .

Discriminante nulo:

Nesse caso, como a função possui duas raízes iguais (ou podemos dizer que possui apenas uma raiz), seu gráfico intercepta o eixo no vértice.

Discriminante negativo:

Nesse caso, como a função não admite raízes reais, seu gráfico não intercepta o eixo .

Relação entre os coeficientes e o gráfico

O coeficiente a

O coeficiente diz respeito a concavidade da parábola.

Dependendo do valor do coeficiente o vértice pode ser um ponto máximo ou um ponto mínimo da função.

O coeficiente b

Indica se a parábola intersecta o eixo de forma crescente ou decrescente.

O coeficiente c

O coeficiente é o termo independente da função e indica o ponto do eixo que a parábola o intersecta.

Por exemplo, se a parábola irá cruzar o eixo no ponto ; se o ponto será exatamente ; e a parábola irá cortar o eixo na sua origem, isto é, no ponto .

Vértice

Esboço do gráfico de uma função quadrática e seu vértice

O vértice da parábola é o ponto crítico da função quadrática, ou seja, é o ponto em que a função muda seu comportamento com relação ao seu crescimento ou decrescimento. O vértice é o ponto:

Definição do vértice usando média entre as raízes

Sempre que uma função quadrática corta o eixo com duas raízes, podemos observar que o eixo de simetria da parábola será uma reta perpendicular ao eixo no ponto médio entre as duas raízes.

Como o eixo de simetria de uma parábola passa pelo vértice, concluímos que a abcissa do ponto médio entre as duas raízes é o valor do vértice.

Assim, concluímos que: e .

Demonstração

Para demonstrar que e que , partiremos das definições vistas acima:

Sabemos que as raízes de uma função quadrática são e e que , temos que:

Sabendo que , vamos mostrar agora que .

Partindo-se da forma canônica, calcularemos :

.

Logo, o vértice de uma função quadrática é o ponto .[3]

Demonstração do vértice usando função derivada

Ver artigo principal: Derivada

Vamos demonstrar que o vértice de uma função quadrática é o ponto . Para isso, usaremos o conceito de ponto crítico e função derivada.

Teorema

Seja uma função quadrática , seu vértice da parábola que representa seu gráfico é o ponto .

Demonstração

Como já foi definido, o vértice é um ponto crítico da função quadrática. Por isso, dizemos que o vértice é um ponto em que a derivada primeira da função é nula.

Sendo a função, temos que sua derivada, pela regra da derivação de polinômios é .

Para encontrar o ponto do domínio que corresponde ao vértice, precisamos encontrar o valor de que satisfaça a equação .

Isolando o na equação, temos:

Após descobrir o valor de que satisfaz a equação, podemos calcular a sua imagem, que é a imagem do vértice, assim:

Logo, a imagem é , ou seja, o vértice é o ponto .[4]

Concavidade da parábola

Esboço do gráfico de uma função com concavidade voltada para cima

A concavidade da parábola de uma função quadrática depende do valor do coeficiente . Assim, quando a parábola tem concavidade voltada para cima e possui um ponto de mínimo que é o vértice. Quando a parábola tem concavidade voltada para baixo e possui um ponto de máximo, que é o vértice.

Para demonstrar a concavidade da parábola, precisamos demonstrar:

  1. Se , a função quadrática admite o valor máximo para . Por consequência disso, a parábola tem concavidade voltada para cima.
  2. Se , a função quadrática admite o valor mínimo para . Por consequência disso, a parábola tem concavidade voltada para baixo.
Demonstrações
Esboço do gráfico de uma função com concavidade voltada para baixo
Teorema 1

Consideremos a função quadrática em sua forma canônica:

Sendo , o valor de será tanto maior quanto menor for o valor da diferença .

Nessa diferença, é constante (porque não depende de ; depende apenas de , , ) e para todo real (pois está elevado ao quadrado). Então a diferença assume o menor valor possível quando , ou seja, quando

Vemos então que a imagem de é:

.

Logo, o ponto é o vértice da parábola que é o ponto de máximo da função, fazendo com que a concavidade da parábola seja para baixo.

Teorema 2

Prova-se modo análogo ao teorema 1.

Referências

  1. Giovanni, José Ruy; Bonjorno, José Roberto; Giovanni, José Ruy Jr. (2002). Matemática Completa. [S.l.: s.n.] ISBN 8532248276 
  2. Dante, Luiz Roberto (2010). Matemática - contexto e aplicações. [S.l.: s.n.] ISBN 9788508112999 
  3. Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos (2004). Fundamentos de matemática elementar 1. [S.l.: s.n.] ISBN 9788535704556 
  4. «O Blog do Mestre: Como calcular e demonstrar as coordenadas do vértice de uma parábola?». www.oblogdomestre.com.br. Consultado em 10 de março de 2016 

Ligações externas