Função quadrática

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Esboço do gráfico da função , uma função quadrática

Em Matemática, uma função quadrática, um polinômio quadrático, um polinômio de grau 2 ou um polinômio de segundo grau, é uma função polinomial de segundo grau.

Essa função pode ter uma ou mais variáveis, porém este artigo se limita ao estudo das funções quadráticas de uma variável apenas.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Uma função de em , é uma função quadrática quando associa cada o elemento , em que , , são números reais, dados e .

Logo uma função quadrática é expressa pela lei:

.

Coeficientes da função quadrática[editar | editar código-fonte]

Os coeficientes de uma função quadrática são os números reais , e citados na definição formal acima.

Dependendo do valor de cada coeficiente o gráfico da função tem características diferentes.

 Formas da função quadrática[editar | editar código-fonte]

Uma função quadrática pode ser expressa em três formatos:

  • é chamada a forma geral, forma padrão ou forma polinomial (também chamada de forma desenvolvida),
  • é chamada a forma fatorada, onde e são as raízes da função quadrática, e as soluções da equação quadrática correspondente
  • é chamada a forma vértice (também chamada de forma canônica), em que e são as coordenadas e do vértice, respectivamente.

Forma canônica[editar | editar código-fonte]

A forma canônica de uma função quadrática é usada para estudar analiticamente a função, uma vez que nessa forma podemos observar diversas características da função apenas com base em seus termos.

ou , com e .

As duas principais aplicações da forma canônica são a verificação do vértice da função e a demonstração do ponto de máximo ou mínimo da função.

Transformação da forma geral para canônica[editar | editar código-fonte]

Seja a função quadrática , vamos transformá-la na forma canônica:

Primeiramente, coloca-se o coeficiente em evidência, da seguinte forma:

Então, no interior dos parênteses, soma-se e subtrai-se pelo termo , para completar quadrados.

Assim, observamos que os três primeiros termos do parênteses são resultados de um produto notável, podendo ser resumidos como:

Substituindo-se isto na função obtêm-se:

Por fim é feito algumas alterações e obtêm-se:

Para simplificar essa forma, pode-se dizer que existe , tais que e , transcrevendo a forma canônica da seguinte maneira:

Zeros da função[1] [editar | editar código-fonte]

Os zeros, ou raízes de uma função quadrática, são os valores de cuja imagem é .

Esses valores são conhecidos como e e podem ser descobertos através da fórmula quadrática .

Logo, as raízes são:

e .

Normalmente essa fórmula é simplificada, adotando o uso do discriminante, representado pela letra grega delta que é definido por .

Assim a fórmula pode ser reescrita como:

, onde e .

Demonstração usando complementação de quadrados[editar | editar código-fonte]

Uma das formas de demonstrar a fórmula quadrática é utilizando complementação de quadrados.

Demonstração

Seja a função , dizemos que suas raízes são os valores de que zeram a lei da função, ou seja, que tornam sua equação nula, da seguinte forma:

.

Partindo daqui, reescrevemos a função, isolando os termos que estão em função de :

Para completar quadrados, somamos o termo a ambos os lados da equação, fazendo com que ela fique reescrita da seguinte forma:

Assim, no primeiro membro temos que e no segundo membro, após efetuar a diferença entre as frações temos que .

Logo, temos que:

Podemos tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação, de foma a reescrever da seguinte forma:

Agora, procuramos isolar o na equação, seguindo dois passos intermediários:

Por fim, para isolar o , multiplicamos os dois lados da igualdade por , assim:

Dessa forma, é possível simplificar ambos os lados da igualdade, chegando por fim, à fórmula:

.

Demonstração usando forma canônica[editar | editar código-fonte]

Também é possível demonstrar a fórmula quadrática a partir da forma canônica.

Demonstração

Seja a função quadrática , sua forma canônica é:

Sabendo que as raízes de uma função são os valores de que possuem imagem nula, podemos escrever:

Para simplificar a função, podemos dividir ambos os termos da igualdade por , de modo a obter:

Reescrevendo esta igualdade, temos que:

.

Então tiramos a raiz quadrada de ambos os lados, ficando com:

Por fim isolamos a incógnita em um dos lados da igualdade:

Enfim, pode-se unir as duas frações de modo a obter a fórmula quadrática:

Estudo das raízes[editar | editar código-fonte]

Observe que a existência de raízes reais e sua quantidade de uma equação quadrática fica condicionado ao valor do discriminante .

Discriminante positivo:

Caso o valor de delta seja positivo dizemos que a equação possui duas raízes distintas, e que zeram a equação. Essas raízes podem ser obtidas pela fórmula quadrática vista acima.

e e

Discriminante nulo:

Caso o valor do discriminante seja nulo, dizemos que a equação possui duas raízes iguais.

[2]

Discriminante negativo:

Caso o valor de delta seja negativo, dizemos que a equação não possui raízes reais.

Para encontrar as raízes de uma função com discriminante negativo precisamos recorrer ao conjunto dos número complexos, onde há a unidade imaginária .

Ver artigo principal: Números complexos

Forma fatorada da função quadrática[editar | editar código-fonte]

A forma fatorada de uma função quadrática é expressa por:

, onde e são as raízes da função.

Para obter essas raízes pode-se utilizar a fórmula quadrática (conhecida no Brasil como fórmula de Bhaskara) ou o método da soma e produto.

Determinação dos zeros através de soma e produto[editar | editar código-fonte]

É possível determinar os zeros de uma função quadrática através de relações existentes entre seus coeficientes e suas raízes.

Para isso existe a relação de soma e produto que determina:

Soma das raízes:

Produto das raízes:

Assim, é possível montar um sistema de equações e encontrar as raízes.

Demonstração

Partindo-se da forma fatorada e aplicando a propriedade distributiva é possível demonstrar as relações de soma e produto de uma função quadrática:

Assim, é possível simplificar a função de modo que ela fique:

Sabendo que uma função quadrática pode ser expressa como , podemos igualar estas duas da seguinte forma:

Igualando os coeficientes temos as seguintes relações:

Gráfico[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Parábola

O gráfico de uma função quadrática é sempre uma Parábola com eixo de simetria perpendicular ao eixo .

Interpretação geométrica das raízes[editar | editar código-fonte]

Interpretação geométrica das raízes das funções quadráticas

Geometricamente, dizemos que os zeros, ou raízes, de uma função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo .

A interpretação geométrica das raízes pode ser feita levando em conta o valor do discriminante , assim como foi feito anteriormente com o estudo das raízes.

Discriminante positivo:

Nesse caso, como a função possui duas raízes distintas, seu gráfico possui dois pontos de corte no eixo .

Discriminante nulo:

Nesse caso, como a função possui duas raízes iguais (ou podemos dizer que possui apenas uma raiz), seu gráfico intercepta o eixo no vértice.

Discriminante negativo:

Nesse caso, como a função não admite raízes reais, seu gráfico não intercepta o eixo .

Relação entre os coeficientes e o gráfico[editar | editar código-fonte]

O coeficiente a[editar | editar código-fonte]

O coeficiente diz respeito a concavidade da parábola.

Dependendo do valor do coeficiente o vértice pode ser um ponto máximo ou um ponto mínimo da função.

O coeficiente b[editar | editar código-fonte]

Indica se a parábola intersecta o eixo de forma crescente ou decrescente.

O coeficiente c[editar | editar código-fonte]

O coeficiente é o termo independente da função e indica o ponto do eixo que a parábola o intersecta.

Por exemplo, se a parábola irá cruzar o eixo no ponto ; se o ponto será exatamente ; e a parábola irá cortar o eixo na sua origem, isto é, no ponto .

Vértice[editar | editar código-fonte]

Esboço do gráfico de uma função quadrática e seu vértice

O vértice da parábola é o ponto crítico da função quadrática, ou seja, é o ponto em que a função muda seu comportamento com relação ao seu crescimento ou decrescimento. O vértice é o ponto:

Definição do vértice usando média entre as raízes[editar | editar código-fonte]

Sempre que uma função quadrática corta o eixo com duas raízes, podemos observar que o eixo de simetria da parábola será uma reta perpendicular ao eixo no ponto médio entre as duas raízes.

Como o eixo de simetria de uma parábola passa pelo vértice, concluímos que a abcissa do ponto médio entre as duas raízes é o valor do vértice.

Assim, concluímos que: e .

Demonstração

Para demonstrar que e que , partiremos das definições vistas acima:

Sabemos que as raízes de uma função quadrática são e e que , temos que:

Sabendo que , vamos mostrar agora que .

Partindo-se da forma canônica, calcularemos :

.

Logo, o vértice de uma função quadrática é o ponto .[3]

Demonstração do vértice usando função derivada[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Derivada

Vamos demonstrar que o vértice de uma função quadrática é o ponto . Para isso, usaremos o conceito de ponto crítico e função derivada.

Teorema

Seja uma função quadrática , seu vértice da parábola que representa seu gráfico é o ponto .

Demonstração

Como já foi definido, o vértice é um ponto crítico da função quadrática. Por isso, dizemos que o vértice é um ponto em que a derivada primeira da função é nula.

Sendo a função, temos que sua derivada, pela regra da derivação de polinômios é .

Para encontrar o ponto do domínio que corresponde ao vértice, precisamos encontrar o valor de que satisfaça a equação .

Isolando o na equação, temos:

Após descobrir o valor de que satisfaz a equação, podemos calcular a sua imagem, que é a imagem do vértice, assim:

Logo, a imagem é , ou seja, o vértice é o ponto .[4]

Concavidade da parábola[editar | editar código-fonte]

Esboço do gráfico de uma função com concavidade voltada para cima

A concavidade da parábola de uma função quadrática depende do valor do coeficiente . Assim, quando a parábola tem concavidade voltada para cima e possui um ponto de mínimo que é o vértice. Quando a parábola tem concavidade voltada para baixo e possui um ponto de máximo, que é o vértice.

Para demonstrar a concavidade da parábola, precisamos demonstrar:

  1. Se , a função quadrática admite o valor máximo para . Por consequência disso, a parábola tem concavidade voltada para cima.
  2. Se , a função quadrática admite o valor mínimo para . Por consequência disso, a parábola tem concavidade voltada para baixo.
Demonstrações
Esboço do gráfico de uma função com concavidade voltada para baixo
Teorema 1

Consideremos a função quadrática em sua forma canônica:

Sendo , o valor de será tanto maior quanto menor for o valor da diferença .

Nessa diferença, é constante (porque não depende de ; depende apenas de , , ) e para todo real (pois está elevado ao quadrado). Então a diferença assume o menor valor possível quando , ou seja, quando

Vemos então que a imagem de é:

.

Logo, o ponto é o vértice da parábola que é o ponto de máximo da função, fazendo com que a concavidade da parábola seja para baixo.

Teorema 2

Prova-se modo análogo ao teorema 1.

Referências

  1. Giovanni, José Ruy; Bonjorno, José Roberto; Giovanni, José Ruy Jr. (2002). Matemática Completa [S.l.: s.n.] ISBN 8532248276. 
  2. Dante, Luiz Roberto (2010). Matemática - contexto e aplicações [S.l.: s.n.] ISBN 9788508112999. 
  3. Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos (2004). Fundamentos de matemática elementar 1 [S.l.: s.n.] ISBN 9788535704556. 
  4. «O Blog do Mestre: Como calcular e demonstrar as coordenadas do vértice de uma parábola?». www.oblogdomestre.com.br. Consultado em 2016-03-10. 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]