Função quadrática

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Esboço do gráfico da função f(x) = x^2 - x - 2, uma função quadrática

Em Matemática, uma função quadrática, um polinômio quadrático, um polinômio de grau 2 ou um polinômio de segundo grau, é uma Função_polinomial de segundo grau.

Essa função pode ter uma ou mais variáveis, porém este artigo se limita ao estudo das funções quadráticas de uma variável apenas.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Uma função f de \mathbb{R} em \mathbb{R}, é uma função quadrática quando associa cada x\in\mathbb{R} o elemento (ax^2+bx+c)\in\mathbb{R}, em que a, b, c são números reais dados e a\ne{0}.

Logo uma função quadrática é expressa pela lei:

f(x)=ax^2+bx+c.

 Formas da função quadrática[editar | editar código-fonte]

Uma função quadrática pode ser expressa em três formatos:

  • f(x) = a x^2 + b x + c é chamada a forma geral, forma padrão ou forma polinomial (também chamada de forma desenvolvida),
  • f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) é chamada a forma fatorada, onde  r_1 e  r_2 são as raízes da função quadrática, e as soluções da equação quadrática correspondente
  • f(x) = a(x - h)^2 + k é chamada a forma vértice (também chamada de forma canônica), em que h e k são as coordenadas x e y do vértice, respectivamente.

Forma canônica[editar | editar código-fonte]

A forma canônica de uma função quadrática é usada para estudar analiticamente a função, uma vez que nessa forma podemos observar diversas características da função apenas com base em seus termos.

f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right] ou f(x)=a\left(x-h\right)^2+k, com h=-\frac{b}{2a} e k=\frac{4ac-b^2}{4a^2}.

As duas principais aplicações da forma canônica são a verificação do vértice da função e a demonstração do ponto de máximo ou mínimo da função.

Transformação da forma geral para canônica[editar | editar código-fonte]

Seja a função quadrática f(x)=ax^2+bx+c, vamos transformá-la na forma canônica:

Primeiramente, coloca-se o coeficiente a em evidência, da seguinte forma:

f(x)=ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}\right)

Então, no interior dos parênteses, soma-se e subtrai-se pelo termo \frac{b^2}{4a^2}, para completar quadrados.

f(x)=a\left(x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right)

Assim, observamos que os três primeiros termos do parênteses são resultados de um produto notável, podendo ser resumidos como:

x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2

Substituindo-se isto na função obtêm-se:

f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right]

Por fim é feito algumas alterações e obtêm-se:

f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]

Para simplificar essa forma, pode-se dizer que existe h, k\in\mathbb{R}, tais que h=-\frac{b}{2a} e k=\frac{4ac-b^2}{4a}, transcrevendo a forma canônica da seguinte maneira:

f(x)= a\left(x-h\right)^2+k

Zeros da função[1] [editar | editar código-fonte]

Os zeros, ou raízes de uma função quadrática, são os valores de x cuja imagem é 0.

Esses valores são conhecidos como r_1 e r_2 e podem ser descobertos através da fórmula quadrática x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Logo, as raízes são:

r_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} e r_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Normalmente essa fórmula é simplificada, adotando o uso do discriminante, representado pela letra grega delta que é definido por \Delta=b^2-4ac.

Assim a fórmula pode ser reescrita como:

x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, onde r_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} e r_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}..

Demonstração usando complementação de quadrados[editar | editar código-fonte]

Uma das formas de demonstrar a fórmula quadrática é utilizando complementação de quadrados.

Demonstração:

Seja a função f(x)=ax^2+bx+c, dizemos que suas raízes são os valores de x que zeram a lei da função, ou seja, que tornam sua equação nula, da seguinte forma:

ax^2+bx+c=0.

Partindo daqui, reescrevemos a função, isolando os termos que estão em função de x:

ax^2+bx=-c

Para completar quadrados, somamos o termo \frac{b^2}{4a} a ambos os lados da equação, fazendo com que ela fique reescrita da seguinte forma:

ax^2+bx+\frac{b^2}{4a}=\frac{b^2}{4a}-c

Assim, no primeiro membro temos que ax^2+bx+\frac{b^2}{4a}=\left(x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt
a}\right)^2 e no segundo membro, após efetuar a diferença entre as frações temos que \frac{b^2}{4a}-c=\frac{b^2-4ac}{4a}.

Logo, temos que:

\left(x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt
a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a}

Podemos tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação, de foma a reescrever da seguinte forma:

x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a}}=\frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{a}}

Agora, procuramos isolar o x na equação, seguindo dois passos intermediários:

x\sqrt{a}=\frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{a}}-\frac{b}{2\sqrt{a}}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{a}}

Por fim, para isolar o x, multiplicamos os dois lados da igualdade por \frac{1}{\sqrt{a}}, assim:

\frac{x\sqrt{a}}{1}.\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{a}}.\frac{1}{\sqrt{a}}

Dessa forma, é possível simplificar ambos os lados da igualdade, chegando por fim, à fórmula:

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Demonstração usando forma canônica[editar | editar código-fonte]

Também é possível demonstrar a fórmula quadrática a partir da forma canônica.

Demonstração:

Seja a função quadrática f(x)=ax^2+bx+c, sua forma canônica é:

f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]a

Sabendo que as raízes de uma função são os valores de x que possuem imagem nula, podemos escrever:

a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]=0

Para simplificar a função, podemos dividir ambos os termos da igualdade por a, de modo a obter:

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0

Reescrevendo esta igualdade, temos que:

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.

Então tiramos a raiz quadrada de ambos os lados, ficando com:

x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}=\frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Por fim isolamos a incógnita em um dos lados da igualdade:

x=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}-\frac{b}{2a}\Longleftrightarrow{x}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Enfim, pode-se unir as duas frações de modo a obter a fórmula quadrática:

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Estudo das raízes[editar | editar código-fonte]

Observe que a existência de raízes reais e sua quantidade de uma equação quadrática fica condicionado ao valor do discriminante \Delta=b^2-4ac.

Discriminante positivo: \Delta>0

Caso o valor de delta seja positivo dizemos que a equação possui duas raízes distintas, r_1 e r_2 que zeram a equação. Essas raízes podem ser obtidas pela fórmula quadrática vista acima.

r_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} e r_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} e r_1\ne{r_2}

Discriminante nulo: \Delta=0

Caso o valor do discriminante seja nulo, dizemos que a equação possui duas raízes iguais.

r_1=r_2=\frac{-b}{2a}[2]

Discriminante negativo: \Delta<0

Caso o valor de delta seja negativo, dizemos que a equação não possui raízes reais.

Para encontrar as raízes de uma função com discriminante negativo precisamos recorrer ao conjunto dos número complexos, onde há a unidade imaginária i=\sqrt{-1}.

Ver artigo principal: Números complexos

Forma fatorada da função quadrática[editar | editar código-fonte]

A forma fatorada de uma função quadrática é expressa por:

f(x)=a(x-r_1)(x-r_2), onde r_1 e r_2 são as raízes da função.

Para obter essas raízes pode-se utilizar a fórmula quadrática (conhecida no Brasil como fórmula de Bhaskara) ou o método da soma e produto.

Determinação dos zeros através de soma e produto[editar | editar código-fonte]

É possível determinar os zeros de uma função quadrática através de relações existentes entre seus coeficientes e suas raízes.

Para isso existe a relação de soma e produto que determina:

Soma das raízes: r_1+r_2=-\frac{b}{a}

Produto das raízes: r_1\cdot{r_2}=\frac{c}{a}

Assim, é possível montar um sistema de equações e encontrar as raízes.

Demonstração:

Partindo-se da forma fatorada e aplicando a propriedade distributiva é possível demonstrar as relações de soma e produto de uma função quadrática:

f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)=a(x^2-x.r_1-x.r_2+r_1.r_2)=a\left[x^2-x\left(r_1+r_2\right)+r_1.r_2\right]

Assim, é possível simplificar a função de modo que ela fique:

f(x)=a.x^2-a\left(r_1+r_2\right).x+a.r_1.r_2

Sabendo que uma função quadrática pode ser expressa como f(x)=ax^2+bx+c, podemos igualar estas duas da seguinte forma:

f(x)={\color{Blue}a}x^2-{\color{Red}a\left(r_1+r_2\right)}.x+{\color{Green}a.r_1.r_2}={\color{Blue}a}x^2+{\color{Red}b}x+{\color{Green}c}

Igualando os coeficientes temos as seguintes relações:

  1. -a\left(r_1+r_2\right)=b\Longrightarrow{r_1+r_2}=-\frac{b}{a}
  2. a\cdot{r_1}\cdot{r_2}=c\Longrightarrow{r_1\cdot{r_2}}=\frac{c}{a}

Gráfico da função quadrática[editar | editar código-fonte]

O gráfico de uma função quadrática é sempre uma Parábola com eixo de simetria perpendicular ao eixo ox.

Ver artigo principal: Parábola

Interpretação geométrica das raízes[editar | editar código-fonte]

Interpretação geométrica das raízes das funções quadráticas

Geometricamente, dizemos que os zeros, ou raízes, de uma função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo ox.

A interpretação geométrica das raízes pode ser feita levando em conta o valor do discriminante \Delta, assim como foi feito anteriormente com o estudo das raízes.

Discriminante positivo: \Delta>0

Nesse caso, como a função possui duas raízes distintas, seu gráfico possui dois pontos de corte no eixo ox.

Discriminante nulo: \Delta=0

Nesse caso, como a função possui duas raízes iguais (ou podemos dizer que possui apenas uma raiz), seu gráfico intercepta o eixo ox no vértice.

Discriminante negativo: \Delta<0

Nesse caso, como a função não admite raízes reais, seu gráfico não intercepta o eixo ox.

Vértice[editar | editar código-fonte]

Esboço do gráfico de uma função quadrática e seu vértice

O vértice da parábola é o ponto crítico da função quadrática, ou seja, é o ponto em que a função muda seu comportamento com relação ao seu crescimento ou decrescimento. O vértice é o ponto: \text{V}\left(\frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a}\right).

Dependendo do valor do coeficiente a o vértice pode ser um ponto máximo ou um ponto mínimo da função.

O vértice de uma parábola é o ponto crítico da função quadrática, ponto em que a função muda seu comportamento com relação ao seu crescimento ou decrescimento.

Demonstração do vértice usando média entre as raízes[editar | editar código-fonte]

Sempre que uma função quadrática corta o eixo ox com duas raízes, podemos observar que o eixo de simetria da parábola será uma reta perpendicular ao eixo ox no ponto médio entre as duas raízes.

Como o eixo de simetria de uma parábola passa pelo vértice, concluímos que a abcissa do ponto médio entre as duas raízes é o valor x do vértice.

Assim, concluímos que: x_v=\frac{r_1+r_2}{2} e y_v=f(x_v).

Demonstração:

Para demonstrar que x_v=\frac{-b}{2a} e que y_v=\frac{-\Delta}{4a}, partiremos das definições vistas acima:

Sabemos que as raízes de uma função quadrática são r_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} e r_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} e que x_v=\frac{r_1+r_2}{2}, temos que:x_v=\frac{\left[\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\left(\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right]}{2}=\frac{\left(\frac{-b-b+\sqrt{\Delta}-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)}{2}=\frac{-b}{2a}.

Sabendo que x_v=\frac{-b}{2a}, vamos mostrar agora que y_v=\frac{-\Delta}{4a}.

Partindo-se da forma canônica, calcularemos f(x)=f\left(\frac{-b}{2a}\right):

f\left(\frac{-b}{2a}\right)=a\left[\left(\frac{-b}{2a}+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]=a\left(\frac{-\Delta}{4a^2}\right)=\frac{-\Delta}{4a}.

Logo, o vértice de uma função quadrática é o ponto \text{V}\left(\frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a^2}\right).[3]

Concavidade da parábola[editar | editar código-fonte]

Esboço do gráfico de uma função com concavidade voltada para cima

A concavidade da parábola de uma função quadrática f(x)=ax^2+bx+c depende do valor do coeficiente a. Assim, quando a>0 a parábola tem concavidade voltada para cima e possui um ponto de mínimo que é o vértice. Quando a<0 a parábola tem concavidade voltada para baixo e possui um ponto de máximo, que é o vértice.

Para demonstrar a concavidade da parábola, precisamos demonstrar:

  1. Se a<0, a função quadrática y=ax^2+bx+c admite o valor máximo y_M=-\frac{\Delta}{4a} para x_M=-\frac{b}{2a}. Por consequência disso, a parábola tem concavidade voltada para cima.
  2. Se a>0, a função quadrática y=ax^2+bx+c admite o valor mínimo y_m=-\frac{\Delta}{4a} para x_m=-\frac{b}{2a}. Por consequência disso, a parábola tem concavidade voltada para baixo.
Demonstração:[editar | editar código-fonte]
Esboço do gráfico de uma função com concavidade voltada para baixo

Teorema 1:

Consideremos a função quadrática em sua forma canônica:

y=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]

Sendo a<0, o valor de y será tanto maior quanto menor for o valor da diferença \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}.

Nessa diferença, -\frac{\Delta}{4a^2} é constante (porque não depende de x; depende apenas de a, b, c) e \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\ge0 para todo x real (pois está elevado ao quadrado). Então a diferença assume o menor valor possível quando \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=0, ou seja, quando x=-\frac{b}{2a}

Vemos então que a imagem de x=-\frac{b}{2a} é:

y=a\left[\left(-\frac{b}{2a}+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\Delta}{4a^2}\right]=a\left[~0^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]=-\frac{\Delta}{4a^2}.

Logo, o ponto \text{V}\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a^2}\right) é o vértice da parábola que é o ponto de máximo da função, fazendo com que a concavidade da parábola seja para baixo.

Teorema 2:

Prova-se modo análogo ao teorema 1.

Referências

  1. Giovanni, José Ruy. Matemática Completa. [S.l.: s.n.], 2002. ISBN 8532248276
  2. Dante, Luiz Roberto. Matemática - contexto e aplicações. [S.l.: s.n.], 2010. ISBN 9788508112999
  3. Iezzi, Gelson. Fundamentos de matemática elementar 1. [S.l.: s.n.], 2004. ISBN 9788535704556

Ligações externas[editar | editar código-fonte]